Cómo escribir el producto de Euler y la función Zeta para $K = \mathbb{Q}(\sqrt{3})$

Question

Para campos numéricos zeta generales, he encontrado un enunciado cuidadosamente escrito de la función zeta de Dedekind y su producto de Euler:

$$ \zeta_L(s) = \sum_{\mathfrak{a}\subseteq \mathcal{O}_L} \frac{1}{N_{L/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p}\subseteq \mathcal{O}_L} \left( 1 - \frac{1}{N_{L/\mathbb{Q}}(\mathfrak{p})^s}\right)^{-1} $$

Si utilizamos un campo cuadrático, por ejemplo $L = \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ entonces creo que el anillo de enteros son para adosar la raíz cuadrada:

$$ \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{3})} = \mathbb{Z}\big[\sqrt{3}\big] = \{ a + b \sqrt{3} : a,b \in \mathbb{Z}\}$$

Yo escribiría la función zeta como la suma de los números de este conjunto: $$ \zeta(s) = \sum'_{(a,b) \in \mathbb{Z}^2} \frac{1}{(a^2 - 3b^2)^s} $$

Esto no está bien... Los ideales están indexados por estos elementos excepto que ahora existe la posibilidad de tener infinitos números de tamaño $1$ :

$$ N_{\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q}}\big[(2 - \sqrt{3})^n \big] = (2 - \sqrt{3})^n(2 + \sqrt{3})^n = (2^2 - 3)^n = 1^n = 1$$

Así que... todos los términos aparecerán infinitas veces. ¿Cuál es el subconjunto correcto: ¿Cómo puedo indexar los ideales de $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{3})}$ como pares de números enteros $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$ ? Mi mejor conjetura es encontrar una manera de indexar:

$$ \mathbb{Z}[\sqrt{3}]^\times / \{(2 - \sqrt{3})^n : n \in \mathbb{Z}\} $$

Es posible que no exista una forma sencilla de indexar ese conjunto. En cuanto al producto de Euler, me gustaría saber qué primos se dividen en $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ .

La reciprocidad cuadrática (o posiblemente un argumento de geometría de números) diría:

$$ \big( \frac{3}{p}\big) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{3-1}{2}}\big( \frac{p}{3}\big) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & p \equiv 1 \pmod 3\\ -1 & p \equiv 0,2 \pmod 3 \end{array} \right.$$

El enunciado más aproximado (ciertamente erróneo) del producto de Euler que se me ha ocurrido es:

$$ \sum'_{(a,b) \in \mathbb{Z}^2} \frac{1}{(a^2 - 3b^2)^s} = \prod_{p \equiv 1 \pmod 3} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^{2s} }} \prod_{p \equiv 0,2 \pmod 3} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^{2s} }} $$

Este es el progreso que tengo hasta ahora, espero haber dado la idea de lo que busco. Agradezco consejos o correcciones.

Answer 1

Las funciones zeta de Dedekind de campos numéricos cuadráticos no imaginarios son más complicadas. Hay como mostrar $$\zeta_{\mathbb{Q}(\sqrt{3})}(s)= \sum_{I \subset \mathbb{Z}[\sqrt{3}]} N(I)^{-s}= \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \sum_{n+m\sqrt{3} \in \mathbb{Z}[\sqrt{3}]^*/\mathbb{Z}[\sqrt{3}]^\times}\!\!\!\!\!\! \!\!\! N(n+m\sqrt{3})^{-s} = \!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\sum_{n+m\sqrt{3} \in \mathbb{Z}[\sqrt{3}]^*/(2-\sqrt{3})^\mathbb{Z}}\!\!\!\!\!\! |n^2-3m^2|^{-s} $$ proviene aún de una función theta, lo que permite obtener la continuación analítica y la ecuación funcional.

Deje para $(x,y) \in (0,\infty)^2$

$$\vartheta(x,y) = \!\!\!\!\!\!\! \sum_{n+m\sqrt{3} \in \mathbb{Z}[\sqrt{3}]^*/(2-\sqrt{3})^\mathbb{Z}}\!\!\!\!\!\! \!\!\! e^{- x |n-m \sqrt{3}|^2-y |n+m \sqrt{3}|^2}$$

$$\Theta(x,y) = \sum_{n+m\sqrt{3} \in \mathbb{Z}[\sqrt{3}]^*} e^{-x |n-m \sqrt{3}|^2-y |n+m \sqrt{3}|^2} = 2\sum_{k=-\infty}^\infty \vartheta(x|2-\sqrt{3}|^{2k},y|2+\sqrt{3}|^{2k})$$

Nota $\int_0^\infty x^{s-1} e^{-ax}dx = a^{-s} \Gamma(s)$ significa

$$\iint_{(0,\infty)^2} (xy)^{s-1} \vartheta(x,y)dxdy =\Gamma(s)^2 \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \sum_{n+m\sqrt{3} \in \mathbb{Z}[\sqrt{3}]^*/(2-\sqrt{3})^\mathbb{Z}}\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\! |n-m \sqrt{3}|^{-2s}|n+m \sqrt{3}|^{-2s} = \Gamma(s)^2 \zeta_{\mathbb{Q}(\sqrt{3})}(2s) $$ La afirmación es que existe algún subconjunto simplemente conexo $S \subset (0,\infty)\times (0,\infty)$ tal que $$(0,\infty)\times (0,\infty) = \bigcup_{k=-\infty}^\infty S \cdot ( |2-\sqrt{3}|^{2k},|2+\sqrt{3}|^{2k})$$ donde $\cdot$ significa $(a,b) \cdot (c,d) = (ac,bd)$ .

Prueba : toma $T$ una franja en el plano que es un dominio fundamental para $\frac{\mathbb{R}^2 }{ \mathbb{Z}\ (\log |2-\sqrt{3}|^2,\log |2+\sqrt{3}|^2)}$ entonces $S = \exp(T)$ .

Se puede comprobar que

$$\iint_{(0,\infty)^2} (xy)^{s-1} \vartheta(x,y)dxdy=\frac12\iint_S (xy)^{s-1} \Theta(x,y)dxdy$$