Supongamos que tengo una hipersuperficie en $\mathbb{C}P^n$ dado por algún $f(z_1, \dots, z_{n+1}) = 0.$ ¿Existe algún algoritmo que devuelva una parametrización racional si existe y "no racional" en caso contrario?
Respuestas
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andy kilby
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Para cúbicas lisas en $\mathbb P^5$ esto es desconocido. Es decir, hay ciertas familias explícitas de tales cúbicas que se sabe que son racionales (las que admiten una descripción pfaffiana, por ejemplo) pero más allá de éstas el problema de la racionalidad de las cúbicas $4$ - es un famoso problema sin resolver.
Thiago Silva
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Aquí está mi intento de una heurística de por qué el problema debe ser indecidible.
Supongamos que tenemos una hipersuperficie $X$ de dimensión $n$ y queremos decidir si es racional o no. Asumiré que $n\geq2$ . Entonces dando un mapa racional $\mathbb{P}^n \dashrightarrow X$ es lo mismo que dar un $\mathbb{C}(t_1,\ldots,t_n)$ -punto vago en $X$ . Sin embargo, el "décimo problema de Hilbert" para tales campos de funciones es indecidible (véase http://www.math.psu.edu/eisentra/varieties.pdf ). Por lo tanto, el problema que has planteado es indecidible.
Edición: Como se ha señalado en los comentarios, este razonamiento no es del todo correcto ya que para el 10º problema de Hilbert fijamos $m$ y un campo $\mathbb{C}(t_1,\ldots,t_m)$ entonces permite la dimensión $n$ variar. De ahí que sólo sea una heurística.
Obsérvese que para el 10º problema de Hilbert, el caso $\mathbb{C}(t)$ sigue abierta.
Edición: Como se comenta más adelante, la racionalidad de las curvas es decidible. Basta con calcular el género de la normalización del cierre proyectivo de la curva.
