Límite de una función diferenciable acotada

Question

¿es cierto que una función continuamente diferenciable $f: [0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}^n$ que está acotado y $\|{f'(x)}\|\leq \frac{C}{x} \ \forall x \in [0,\infty)$ tiene límite para $x \rightarrow +\infty$ ?

Porque me parece que es verdad, pero no puedo demostrarlo.

Answer 1

$f(x)=\sin (\ln (1+x))$ es un contraejemplo. Tenga en cuenta que $\lim_{n\to \infty}f(e^{\frac {(2n+1)\pi} 2}-1)$ no existe. La hipótesis se mantiene con $C=1$ .