Lugar Raíz y Eje Imaginario

Question

Tengo serios problemas para encontrar el punto en el que los loci raíz cruzan el eje imaginario para la siguiente función de transferencia de bucle abierto (OLTF) ;

Nos han enseñado a sustituir s = jw y multiplicar por el conjugado complejo para tener segmentos Real e Imaginario por separado. Usando 1 + u + jv = 0 donde u = -1 y v = 0 para resolver para w y k.

A continuación se muestra una imagen de mi trabajo hasta el conjugado complejo, después de este punto las matemáticas me da la impresión de que he cometido un error o hay un método más simple para resolver este problema.

Puede ser útil saber que el punto en el que los loci cruzan el eje imaginario es 1,799 (de MatLab).

Cualquier ayuda será bienvenida y gracias por el tiempo que dedique a esto.

Feliz Navidad

Apéndice :

k se ha introducido en el OLTF para encontrar su valor máximo de estabilidad. Utilizando u = - 1 y subincorporando el valor de w (obtenido del segmento imaginario) en el segmento real.

A continuación se muestra mi trabajo para encontrar un OLTF con segmentos reales e imaginarios separados ;

Answer 1

No sé por qué se ha introducido "k" a mitad de tu álgebra pero, ignorándolo hasta que te digan lo contrario, ya casi lo tienes. Tu fórmula final se reduce a un término real en el denominador (porque eso es lo que hace multiplicar arriba y abajo por el complejo conjugado), así que concéntrate en el numerador.

Expándelo y luego simplemente iguala la suma de todos los términos reales en el numerador a cero. Ignora todo lo demás porque todos los términos reales igualados a cero marcan la posición en el lugar geométrico de la raíz que cruza el eje imaginario.

A continuación, busque \$\omega\$ . Y feliz navidad para ti.

Answer 2

Existen varios métodos para averiguar los puntos de cruce jw. La tabla de Routh es uno de ellos. Primero se construye el sistema en bucle cerrado, es decir $$ \frac{K(1+s)}{s^4 + 3s^3 + 6s^2 + (K+4)s + K} $$

La mesa Routh es

$$ \begin{matrix} s^4 &&&& 1 &&&& 6 &&&& K \\ s^3 &&&& 4 &&&& (K+4) &&&& 0 \\ s^2 &&&& \frac{24-(K+4)}{4} &&&& K &&&& 0 \\ s^1 &&&& \frac{-K^2+80}{-K+20} &&&& 0 &&&& 0 \\ s^0 &&&& K &&&& 0 &&&& 0 \end{matrix} $$

En \$ s^1 \$ es la única fila que puede producir una fila de ceros. De la fila anterior obtenemos

$$ \begin{align} \frac{-K^2+80}{-K+20} = 0 \implies K = \pm \sqrt{80}\\ \end{align} $$

Ahora echemos un vistazo a la fila de arriba \$s^1\$ y construir el siguiente polinomio (es decir, un polinomio auxiliar), por lo tanto

$$ \begin{align} \left(\frac{24-(K+4)}{4}\right) s^2 + K &= 0 \\ 2.7639 s^2 + \sqrt{80} &= 0 \\ s_{1,2} &= \pm j 1.7989 \\ \end{align} $$

El lugar geométrico de la raíz cruza el eje imaginario en esta frecuencia \$\pm j1.7989\$ en la ganancia \$K=\sqrt{80}\$ .

En segundo enfoque es considerar $$ 1+ \frac{K(s+1)}{s^4+4s^3 +6s^2 + 4s} = 0 $$ Sea \$s=j\omega\$ simplificar la expresión anterior, por lo tanto: $$ (\omega^4-6\omega^2+K) + j (K\omega + 4\omega - 4 \omega^3) = 0 $$ El lado izquierdo es un único número complejo y para que este número complejo sea igual a cero, tenemos $$ \begin{align} (\omega^4-6\omega^2+K) &= 0 \implies K = 6\omega^2-\omega^4\\ ((6\omega^2-\omega^4)\omega + 4\omega - 4 \omega^3) &= 0 \implies -\omega^5 + 2 \omega^3 + 4\omega = 0 \\ w_{1,2,3,4,5} &= 0,\pm 1.7989,\pm j1.1118 \\ \end{align} $$ Descartar el cero y \$\pm j1.1118\$ terminamos con esta frecuencia \$\pm 1.7989\$ en el que el lugar geométrico de la raíz se cruza con el eje imaginario. Podemos calcular la ganancia K también, por lo tanto:

$$ \begin{align} K &= 6\omega^2-\omega^4\\ &= 6(1.7989)^2 - (1.7989)^4 \\ &= 8.9443 \end{align} $$