Inversión en la región uno a uno de un polinomio

Question

Supongamos que tengo un polinomio: $P(x)=x-x^3$ definido para $x\in[0,1]$ . Parcela de $P(x)$ en esta gama de $x$ muestra que cada valor de $P$ corresponde a dos valores diferentes de $x$ (la curva es cóncava hacia abajo, comenzando y terminando en cero), excepto en el valor máximo de la curva, $\hat{P}$ que se produce en $x=1/\sqrt{3}$ . Ahora bien, si limito $x$ al intervalo $[0,1/\sqrt{3}]$ tengo una correspondencia uno a uno entre $P$ y $x$ . Me preguntaba si puedo invertir el polinomio en esta región limitada para obtener $x(P)$ . Mi objetivo final es obtener $\frac{dx}{dP}$ en esta región. Se agradece cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

$x-x^3=y$ es un ecuación cúbica . Se puede resolver por medios algebraicos, pero la respuesta no parece bonita: $$x=-\frac{\sqrt[3]{2} \left(\sqrt{81 y^2-12}+9 y\right)^{2/3}+2 \sqrt[3]{3}}{6^{2/3} \sqrt[3]{\sqrt{81 y^2-12}+9 y}}.$$ Puedes encontrar la derivada por diferenciación implícita: $$(3\,x^2-1)\,\frac{dx}{dy}=1.$$