Quiero encontrar una solución general de $$\ddot x-3\dot x+2x=e^t\sin(t)$$ Al principio, me fijé en la ecuación diferencial $$\ddot x-3\dot x+2x=e^{(1+i)t}$$ cuya parte imaginaria debe ser mi solución deseada. Para el problema complejo encontré una solución especial $$\varphi(t)=\left(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right)e^{(1+i)t}$$ Ahora, el polinomio característico $P(D)=D^2-3D+2$ de esta ecuación diferencial tiene raíces $\lambda_1=1$ y $\lambda_2=2$ por lo que el sistema fundamental de soluciones debe ser $$\left\{e^t,e^{2t}\right\}$$ Por lo tanto, la solución general al problema complejo es $$\Phi(t)=\left(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right)e^{(1+i)t}+C_1e^t+C_2e^{2t}$$ donde $C_1,C_2\in\mathbb C$ y obtengo la solución general de mi problema original mediante $$\Psi(t)=\Im(\Phi(t))=\frac{e^t}{2}(\cos(t)-\sin(t))$$ y no creo que esto pueda ser correcto ya que no hay constantes en ninguna parte. ¿Hay algún error en mis pensamientos? Y si es así, ¿dónde está?
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$$ e^{it} = \cos(t)+i\sin(t) $$
$$ (1+i)(\ddot x-3\dot x+2x)=e^t e^{it}\Rightarrow \ddot x-3\dot x+2x = \left(\frac{1-i}{2}\right)e^{t(i+1)} $$
La solución para la ecuación homogénea o $\ddot x_h-3\dot x_h+2x_h = 0$ es
$$ x_h = C_1 e^t+C_2 e^{2t} $$
y una solución particular es
$$ x_p = \frac{e^t}{2}\left(\cos(t)-\sin(t)\right) $$
y luego
$$ x = x_h + x_p = C_1 e^t+C_2 e^{2t}+\frac{e^t}{2}\left(\cos(t)-\sin(t)\right) $$
Para una solución concreta, pruebe a utilizar $y=A e^t\sin t + B e^t \cos t $ y encontrar los números reales $A$ y $B$ . Obsérvese que se obtienen dos ecuaciones en $A$ y $B$ . Supón que los encuentras.
Por lo tanto, la solución general es
$$ x(t) = C_1 e^t + C_2 e^{2t} + A e^t\sin t + B e^t \cos t $$ donde $C_1,C_2$ son constantes arbitrarias y $A$ B$ son números conocidos.
$$\ddot x-3\dot x+2x=e^t\sin(t)$$ Otra solución $$\ddot x-2\dot x- \dot x+2x=e^t\sin(t)$$ $$(\ddot x-2\dot x)-( \dot x-2x)=e^t\sin(t)$$ $$z'-z=e^t\sin(t)$$ $$z'e^{-t}-ze^{-t}=\sin(t)$$ Sustituir $z=x'-2x$ $$(ze^{-t})'=\sin(t)$$ $$ze^{-t}=-\cos(t)+K$$ $$(x'-2x)e^{-t}=-\cos(t)+K$$ $$(xe^{-2t})'=-\cos(t)e^{-t}+Ke^{-t}$$ $$xe^{-2t}=-\int \cos(t)e^{-t}dt+Ke^{-t}+C$$ $$x(t)=-e^{2t}\int \cos(t)e^{-t}dt+Ke^{t}+Ce^{2t}$$ Por lo tanto $$\boxed{x(t)=\frac 12e^{t}(\cos(t)-\sin(t))+Ke^{t}+Ce^{2t}}$$
