¿Ayuda con las funciones compuestas?

Question

Supongamos que $u$ y $w$ se definen del siguiente modo:

$u(x) = x^2 + 9$

$w(x) = \sqrt{x + 8}$

Lo que es:

$(u \circ w)(8) =$

$(w \circ u)(8) =$

Me perdí esto en clase de matemáticas. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Mira la expresión para $u(x)$ . Cuando escribimos $u(w(8))$ significa utilizar $w(8)$ en todas partes que tenían " $x$ "en la expresión para $u(x)$ . Sin embargo, $w(8)$ es sólo un número, se puede calcular por separado utilizando la expresión para $w(x)$ . Y por último, $u(w(8))$ y $w(u(8))$ necesita no ser iguales.

Answer 2

$$w\circ u(8)=\sqrt{\left(8^2+9\right)+8}=9$$ $$u\circ w(8)=\left(\sqrt{8+8} \right)^2+9=25$$ Ten en cuenta que, como dice Ivo, no son iguales.

Answer 3

Cuando la función no es demasiado complicada, se mayo ayuda para expresarlo con palabras. Así, su $u$ es "elevar al cuadrado la entrada y luego añadir $9$ para obtener el resultado final". Y su función $w$ es "añadir $8$ a tu entrada, y luego sacar la raíz cuadrada para obtener tu salida final". Y estoy seguro de que sabes que $u\circ w$ medios para realizar la $w$ y, a continuación, utilizando los resultados de $w$ como entrada para $u$ realice la $u$ proceso. Eso es exactamente lo que ha hecho @olive euler.

Answer 4

$(u\circ w)$ es el composición de función $u$ en $w$ .

Significa: aplicar la función $u$ al resultado aplicando la función $w$ . Eso es todo.

$$(u\circ w)(x) = u(w(x))$$

Y a la inversa: $(w\circ u)(x) = w(u(x))$