Sea $Q$ y $P$ sea $n\times n$ matriz, entonces $PQ$ y $QP$ tienen los mismos valores propios

Question

¿Es cierta la siguiente afirmación?

Sea $Q$ y $P$ sea $n\times n$ matriz, entonces $PQ$ y $QP$ tienen los mismos valores propios.

¿Y si $Q$ ¿es invertible?

Edita:

No suponemos que $P$ y $Q$ tienen los mismos valores propios.

Answer 1

Si $Q$ es una matriz invertible, entonces $PQ$ y $QP$ son de hecho similar matrices. Esto es fácil de ver : $Q^{-1}(QP)Q = PQ$ . Por lo tanto, es evidente que $QP$ y $PQ$ tienen los mismos valores propios, de hecho hasta la multiplicidad. (Te dejo que lo compruebes por ti mismo. Utilice los argumentos ilustrados en los comentarios anteriores).

Ahora, dejemos que $P$ y $Q$ no sea invertible. Asumiremos que lo son sobre los números reales. Gracias a $GL_{n}(\mathbb R)$ siendo denso en $M_{n \times n}(\mathbb R)$ tenemos que existen matrices invertibles $Q_n \to Q$ (convergencia por entradas). Como la multiplicación de matrices a derecha e izquierda son operaciones continuas, vemos que $PQ_n \to PQ$ y $Q_nP \to QP$ . Ahora, $Q_nP$ y $PQ_n$ tienen los mismos valores propios hasta la multiplicidad y, por tanto, el mismo polinomio característico.

El polinomio característico de cualquier matriz $A$ tiene coeficientes que son polinomios en las entradas de $A$ . Por lo tanto, si $A_n \to A$ entonces también se deduce por continuidad de polinomios que los coeficientes de los polinomios característicos de $A_n$ converge a los coeficientes del polinomio característico de $A$ .

El argumento anterior muestra que el polinomio característico de $PQ$ es el límite de los polinomios característicos de $PQ_n$ y lo mismo para $QP$ y $Q_nP$ . Pero entonces $Q_nP$ y $PQ_n$ tienen el mismo polinomio característico, por lo tanto $PQ$ y $QP$ tienen el mismo polinomio característico.

En particular, para $P,Q \in M_{n \times n}$ , $PQ$ y $QP$ tienen los mismos valores propios, hasta la multiplicidad también.

Sin embargo, si $P \in M_{m \times n}$ y $Q \in M_{n \times m}$ entonces también $PQ$ y $QP$ son matrices cuadradas, entonces también se puede preguntar por sus valores propios. Por supuesto, un argumento similar a lo que hicimos anteriormente no se sostiene (ya que el concepto de inversos será defenestrado), pero el resultado sigue siendo impresionante : $\chi_{PQ}(t) = \chi_{QP}(t) \times t^{m-n}$ donde $m>n$ . Por lo tanto, los valores propios no nulos de $PQ$ siguen siendo iguales a las de $QP$ hasta la multiplicidad, pero lo que a lo sumo puede ocurrir más allá es que uno tenga el valor propio cero y el otro no lo tenga. La prueba de esto se puede dar claramente utilizando matrices de bloques, y puedo adjuntarlo si lo solicita.