Sea $(a_0,a_1,\dotsc)$ sea una secuencia infinita de números naturales tal que $a_x\equiv a_y\pmod{m}$ si $x\equiv y\pmod{m}$ . Demostrar que $a_n=n$

Question

Sea $(a_0,a_1,\dotsc)$ sea una sucesión infinita de números naturales que contenga todos los números naturales. Supongamos que $a_x\equiv a_y\pmod{m}$ sólo si $x\equiv y\pmod{m}$ para todos $x,y\in\mathbb{N}$ y $m\in\mathbb{N}_{\geq 1}$ . Demostrar que $a_n=n$ para todos $n\in\mathbb{N}$ .

He intentado demostrarlo por inducción, pero no consigo demostrar el caso base. $a_0=0$ .

Answer 1

Si $a_x=a_y$ entonces $a_x\equiv a_y\pmod{m}$ para todos los enteros positivos $m$ Por lo tanto $x\equiv y\pmod{m}$ para todos los enteros positivos, de modo que $x=y$ . Por lo tanto $n\mapsto a_n$ es una permutación de los números naturales. Ahora el número entero positivo $m:=|a_{n+1}-a_n|$ satisface $a_{n+1}\equiv a_n\pmod{m}$ de donde $n+1\equiv n\pmod{m}$ y, por lo tanto $m=1$ . Esto significa que $a_{n+1}$ es igual a $a_n-1$ o $a_n+1$ . Sin embargo, $a_{n+1}=a_n-1$ obligaría a $a_{n+2}=a_n-2$ , $a_{n+3}=a_n-3$ etc., lo cual es una contradicción después de $a_n$ pasos. Por lo tanto $a_{n+1}=a_n+1$ para todos $n\in\mathbb{N}$ y de aquí se deduce que $a_n=n$ para todos $n\in\mathbb{N}$ .