Diseñar una función de probabilidad con una curtosis y asimetría deseadas

Question

¿Es posible diseñar una función de probabilidad P(x) de forma que la distribución tenga una curtosis, K, y una asimetría, S, determinadas? Por lo demás, no me interesa ninguna otra propiedad de esta distribución.

P(x) = f(K,S)

...f es alguna función de curtosis, asimetría.

Answer 1

¿Es posible diseñar una función de probabilidad P(x) tal que la distribución tenga una curtosis, K, y una asimetría, S, determinadas?

Desde luego.

Considere, por ejemplo, la Sistema de distribuciones Pearson .

Se trata de un sistema de distribuciones (una colección de familias de distribuciones) indexadas por los momentos centrales tercero y cuarto estandarizados (que es a lo que normalmente se refiere la gente cuando dice "asimetría" y "curtosis"), o más habitualmente, el cuadrado del tercer momento estandarizado y el cuarto momento estandarizado.

Estas familias -doce en total, si no recuerdo mal (pero 4 principales, las restantes son casos especiales)- dividen el plano asimetría-curtosis en regiones en las que se aplica cada familia.

Según recuerdo, estas familias incluyen las distribuciones normal, t, gamma, gamma inversa, F y beta.

Hay un análisis bastante detallado de la familia de distribuciones Pearson tipo IV, incluida la relación entre sus parámetros y la media, la varianza, la asimetría y la curtosis.

Heinrich, J. (2004)
Guía de la distribución tipo IV de Pearson ,
Univ. Pennsylvania, Filadelfia, Tech. Rep. CDF/Memo/Estadísticas/Público/6820

[Por cierto, el paquete R PearsonDS (disponible en CRAN) ofrece el conjunto habitual de funciones para pdf, cdf, cuantiles y números aleatorios, así como el ajuste (a través de la máxima verosimilitud o el método de los momentos). Hay una función, pearsonFitM para ajustar una media, varianza, asimetría y curtosis dadas].

--

Pero se puede hacer muy bien, simplemente tomando unos pocos puntos discretos, digamos 5-6, y manteniendo la media constante (en 0), mover los puntos hasta obtener los valores deseados. Este enfoque puede ser automático mediante el uso de rutinas de optimización, aunque en casos concretos no se tarda mucho por ensayo y error (¡siempre que no intentes realizar valores inalcanzables!).

Por ejemplo, digamos que quiero que el 3er momento central estandarizado sea 1 y el 4º momento central estandarizado 5.

Considera estos 6 valores, obtenidos por ensayo y error:

-2.9935,-1.51988,0,0,.51988,3.9935

dan (para los momentos centrales normalizados 3º y 4º):

1.000026
4.999994

que tienen una precisión de 5 cifras significativas.

---

Edita: véase también esta pregunta relacionada

Answer 2

La distribución de máxima entropía con sus restricciones es la familia exponencial

\begin{align} f(x) &\propto e^{ax^4 + bx^3} \end{align}

Tendrás que convertir una curtosis y una asimetría dadas en parámetros naturales $a, b$ .