Demuestra que los polinomios de Legendre consecutivos no tienen raíz común.

Question

Estoy utilizando la siguiente definición de polinomios de Legendre:

$P_0(x)=1$

$P_1(x)=x$

$\displaystyle P_{k+1}(x)=\frac{2k+1}{k+1}x P_k(x)-\frac{k}{k+1} P_{k-1}(x)$

P: Demuestre que para ningún $k\in \mathbb{N}$ puede $P_{k}(x)$ y $P_{k+1}(x)$ tienen una raíz común.

He intentado aplicar el algoritmo de división para $P_{k+1}(x)$ y $P_{k}(x)$ (dividido por $P_{k}(x)$ y $P_{k-1}(x)$ respectivamente) para concluir que el resto nunca será 0, pero no estoy seguro de cómo hacer esta deducción.

¿Debo demostrarlo por inducción? Personalmente no veo cómo demostrarlo inductivamente.

Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

Argumentas hacia abajo, no hacia arriba.

Si $P_{k+1}$ y $P_k$ tienen una raíz común, entonces ésta es también una raíz de $P_{k-1}$ . Continuando hacia abajo, esto también es una raíz de $P_1$ . Pero la única raíz de $P_1$ es $0$ .

Answer 2

Pista: Supongamos que $P_k$ tiene alguna raíz $z$ . Entonces $P_k(z)=0$ . ¿Qué implica esto sobre $P_{k+1}(z)$ ? (Si puedes responder a esto, probablemente puedas averiguar dónde entra la inducción).