Una estrategia para un problema básico de combinatoria

Question

Dado el conjunto $A=\left\{2;\:3;\:4;\:5;\:6;\:7;\:8;\:9\right\}$ ¿cuántos números de cinco cifras, Impares, distintos, podemos construir con los elementos de $A$ que también son inferiores a $49999$ .

Así es como intenté resolverlo:

Si $9$ está en las unidades, 2 ó 3 deben estar en las décimas de millar. Seleccionados dos números de ocho, quedan seis números para tres lugares (entre las unidades y las decenas de millar). Por lo tanto: $2\cdot_6P_3$

Si $3$ está en el lugar de las unidades, quedan dos opciones para las decenas de miles. Otra vez: $2\cdot_6P_3$

Si $5$ ou $7$ están en las unidades, puede haber tres números en las decenas de millar ( $2$ , $3$ o $4$ ). Entonces, aún quedan seis números por elegir. Por lo tanto: $2\cdot3\cdot_6P_3$

El número de combinaciones vendrá dado por $2\cdot_6P_3+2\cdot_6P_3+2\cdot3\cdot_6P_3=1200$

Esta solución es errónea, y ya sé por qué.

Answer 1

Supongo que no está permitido repetir dígitos en el número: por ejemplo $33333$ no cuenta como número impar válido de cinco cifras inferior a $49999$ a partir de los dígitos disponibles.

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Sabemos que la primera cifra ( en el lugar de los diez mil ) debe ser $2,3,$ ou $4$ para cumplir la condición de que el resultado sea inferior a $49999$ . Romper en casos.

Una vez hecho esto, elija el último dígito ( en el lugar de las unidades ). Debe ser un dígito impar de los que quedan ( tenga en cuenta que si $3$ para el primer dígito, esto afecta al recuento. )

Una vez hecho esto, rellene finalmente los dígitos restantes de izquierda a derecha con los que aún pueda elegir.

• Si el primer dígito es par, es decir, es un $2$ o un $4$ Elige cuál es (2 opciones)

  • El último dígito es impar, elige cuál es (4 opciones)
  • Elija el segundo, tercer y cuarto dígito (6, 5 y 4 opciones cada uno respectivamente)

• Si el primer dígito era impar, entonces debe haber sido un $3$ (1 opción)

  • El último dígito es impar, elige cuál es (3 opciones)
  • Elija el segundo, tercer y cuarto dígito (6, 5 y 4 opciones cada uno respectivamente)

Esto da un total de $2\times 4\times 6\times 5\times 4 + 1\times 3\times 6\times 5\times 4 = 1320$

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Su error parece estar en la línea " Si $9$ está en las unidades, 2 o 3 deben estar en las décimas de millar "

Tenga en cuenta que el número $45679$ es un número válido que termina en nueve y empieza por $4$ . Te olvidaste de tomar $4$ como posible dígito inicial cuando $9$ es el último dígito.

Answer 2

Consideró que todos $4$ casos en las unidades (último) dígito es impar.

Otra posibilidad es $2$ casos ( $[\ ]$ es el dígito específico del $5$ -):

Caso 1: $[2 \ or \ 4][\ ][\ ][\ ][3] \Rightarrow 2\cdot P(6,3)=2\cdot 120=240;$

Caso 2: $[2 \ or \ 3 \ or \ 4][\ ][\ ][\ ][5 \ or \ 7 \ or \ 9] \Rightarrow 3\cdot 3\cdot P(6,3)=3\cdot 3\cdot 120=1080.$

Por lo tanto, el número de números favorables es: $240+1080=1320$ .

Sí, como señaló JMoravitz, te perdiste $\color{red}4[\ ][\ ][\ ][9]$ en el primer caso: por lo tanto, debe tener $\color{red}3\cdot_6P_3$ .