¿En qué condiciones $\sin x\sin(x+y)$ positivo para $x \in [0,\pi/2]$ y $y \in [0,\pi]$ ?

Question

Dada la siguiente relación entre dos ángulos $x$ y $y$ : $$f=\sin x\sin(x+y)$$ para que $x \in [0,\pi/2]$ y $y \in [0,\pi]$ . ¿Cuáles son las condiciones para que esta función sea siempre positiva?

Tiene dos caminos posibles, o bien ambos $sines$ son positivos o ambos negativos. Me perdí cómo hacerlo. Intenté simplificar esta función usando $$\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$$ lo que significa que tenemos que pensar en ese signo de $\cos x - \cos(2x+y)$ . ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Toda tangente, seno y coseno son no negativos a partir de $[0,\pi/2]$ entonces sólo seno, sólo tangente y sólo coseno en los tres cuadrantes siguientes, por lo que seno es no negativo para $x$ en $[0,\pi]$ .

¿No te dio tu profesor alguna nemotecnia para recordar "Todo, Seno, Tangente, Coseno"?

$$f=\sin x\sin(x+y)$$

para que $x \in [0,\pi/2]$ y $y \in [0,\pi]$

Entonces $\sin x$ es siempre no negativo y $\sin(x+y)$ es positivo siempre que $0 < x+y <\pi$ . Es cero en $\pi$ y luego negativo para $\pi < x \leq \frac{3\pi}{2}$ . Por lo tanto, las condiciones deseadas son $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ y $x + y \in (0, \pi)$ .