Demostrar que $\frac{b-a}{\cos^2 (a)}< \tan b - \tan a < \frac{b-a}{\cos^2 b}$

Question

Demostrar que $\frac{b-a}{\cos^2 (a)}< \tan b - \tan a < \frac{b-a}{\cos^2 b}$ donde $0 < a < b < \frac{\pi}{2}$ .

Ni siquiera puedo empezar a resolver esto. ¿Podrían ayudarme? :D

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\tan(b) - \tan(a) = \int_a^b \frac{1}{\cos^2(x)} \ dx $$ Desde $\cos(x)$ es una función decreciente en el intervalo $(0, \pi / 2)$ entonces su recíproco debe ser una función creciente por lo tanto.

$$\frac{b-a}{\cos^2 (a)} < \int_a^b \frac{1}{\cos^2 (x)} \ dx < \frac{b - a}{\cos^2 (b)}$$

y el resultado es el siguiente.

Answer 2

Por el Teorema del Valor Medio, existe $c\in(a,b)$ tal que $\dfrac{\tan(b)-\tan(a)}{b-a}=\sec^2(c)$ .

Ahora, en $[0,\pi/2)$ , $\sec^2(x)$ es una función creciente.

Por lo tanto, $\sec^2(a)<\sec^2(c)<\sec^2(b)$ que muestra que $\sec^2(a)<\dfrac{\tan(b)-\tan(a)}{b-a}<\sec^2(b)$ .