Integre $\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}$

Question

Quisiera pedir ayuda con respecto a la siguiente integral indefinida, probé la integración por partes y la sustitución trigonométrica que ambas me llevaron a $\int\frac{\sec\theta}{\tan\theta}d\theta$ , y a partir de aquí es lioso integrar por partes, cualquier ayuda se agradecería.

$$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}$$

Answer 1

$$\int \frac{\sec \theta}{\tan\theta} = \frac{\frac 1{\cos \theta}}{\frac {\sin\theta}{\cos\theta}}\,d\theta = \int \frac 1{\sin\theta}\,d\theta = \int \csc\theta \,d\theta$$

Alternativamente, dado $$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}} = \int\frac{x\,dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}$$

$$\text{Put }\;x^2 + 1 = u^2\;\iff \;x^2 = u^2 - 1\; \implies \;u\,du = x\,dx$$ Esto nos da la integral, después de la sustitución: $$\int \frac{u\,du}{(u^2-1)u}=\int \frac{du}{(u^2-1)} = \frac 12\int \left(\frac 1{u-1} - \frac 1{u+1}\right)\,du$$

Estoy seguro de que puedes seguir desde aquí.

Answer 2

Multiplicar el integrando por $\dfrac{x}{x}$ tendremos $$\int\frac{x\ dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}\ dx.$$ Ahora, establece $u^2=x^2+1\ \Rightarrow\ u\ du=x\ dx$ entonces $$\begin{align} \int\frac{x\ dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}\ dx&=\int\frac{1}{u^2-1}\ du\\ &=\frac12\int\left[\frac1{u-1}-\frac1{u+1}\right]\ du. \end{align}$$ El resto debería ser fácil.

Answer 3

Incluso otra aproximación a la integral (aunque más bien en forma "filosófica" en cierto sentido); por sustitución $x=1/t$ :

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{1+x^2}}=-\int\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t^2}} = -\operatorname{arcsinh}t = -\operatorname{arcsinh}\frac{1}{x} = -\operatorname{arccsch}x + C$$