Pruebas $\sum_{n=1}^{99}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}\lt\frac9{20}$

Question

He encontrado la pregunta original hecha por otra persona, pidiendo que esto se demuestre utilizando sólo 'matemáticas de 9º grado', esta es la imagen:

Que puede escribirse como

$$\sum_{n=1}^{99}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}\lt\frac9{20}$$ Racionalizándolo, obtuve

$$\sum_{n=1}^{99}\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}<\frac9{20}$$

Aquí es donde estoy atascado. Mi plan era convertir esto de alguna manera en una suma telescópica, pero no he tenido suerte con eso debido a lo desordenado que puede llegar a ser el denominador en las sumas parciales. He intentado ver si seguía el patrón de una serie GM pero el cociente resultante tenía radicales dentro. En general no sé hacer sumas de radicales. Así que, ¿cómo puedo demostrar esta desigualdad, preferiblemente sin utilizar la inducción o la evaluación manual de cada término utilizando una calculadora (debido a la condición de matemáticas de 9 º grado)? Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Como sabemos $(2n+1)^2=4n^2+4n+1>4n^2+4n=4n(n+1)$ entonces $2n+1>2\sqrt{n(n+1)}$ con $n\in\mathbb N$ . Por lo tanto, tenemos $$ \sum_{n=1}^{99}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\color{red}{2n+1}}<\sum_{n=1}^{99}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\color{red}{2\sqrt{n(n+1)}}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{99}\frac{1}{\sqrt n}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{10}\right)=\frac{9}{20}. $$