Derivada(s) de la medida de Cantor (Donald L. Cohn cap. 6.2, ejercicio 6.2.4, relacionado con el lema 6.2.5)

Question

Primero, el contexto: Estoy haciendo un curso sobre teoría de la medida/integración siguiendo el libro de Donald L. Cohn. En la sección 6.2, define las derivadas (superior e inferior) de una medida de Borel finita $\mu$ en $\mathbb{R}^d$ como $$ (\overline{D}\mu)(x) = \lim_{\varepsilon\downarrow 0}\sup\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)} : C\in\mathscr{C},x\in C, e(C) < \varepsilon \right\} $$ et $$ (\underline{D}\mu)(x) = \lim_{\varepsilon\downarrow 0}\inf\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)} : C\in\mathscr{C},x\in C, e(C) < \varepsilon \right\}, $$ donde $\mathscr{C}$ es la colección de todos los cubos de $\mathbb{R}^d$ (es decir, productos de intervalos cerrados de longitud común), $e(C)$ es la longitud de las aristas del cubo $C$ y $\lambda$ es la medida de Lebesgue.

En el ejercicio 6.2.4, Cohn pide confirmar que se cumplen ciertos supuestos del siguiente lema:

Lemma 6.2.5. Sea $\mu$ sea una medida de Borel finita sobre $\mathbb{R}^d$ tal que $\mu \ll \lambda$ , dejemos que $a$ sea un número real positivo, y sea $A$ sea un conjunto Borel de $\mathbb{R}^d$ tal que $(\underline{D}\mu)(x)\leq a$ se mantiene en cada $x\in A$ . Entonces $\mu(A)\leq a\lambda(A)$ .

En concreto, se trata de demostrar que el requisito de que $\mu\ll\lambda$ es realmente necesario, por lo que debería haber $\mu$ tal que $\mu\not\ll\lambda$ pero $\underline{D}\mu$ está acotado en algún conjunto $A$ donde la declaración $\mu(A) \leq \text{constant}\cdot\lambda(A)$ falla.

Tengo un intento muy pobre de encontrar una solución: Sé que cualquier medida de aspecto "continuo" no puede funcionar, ya que cualquier medida construida "naturalmente" será absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, y cualquier medida discreta tendrá derivada cero (en cuyo caso no produce un contraejemplo), o tendrá derivada infinita, lo que tampoco funcionará. Por lo tanto, hay que utilizar alguna medida muy extraña, probablemente singular. Por lo tanto, sospecho que funciona la medida de Cantor, es decir, la medida inducida por la integración junto a la función de Cantor. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo calcular las derivadas superior e inferior de esta medida en los puntos en los que sería distinta de cero (es decir, los puntos del conjunto de Cantor), y ni siquiera puedo demostrar que las derivadas deberían estar acotadas. Así que estoy atascado.

¿Es éste el enfoque correcto y, en caso afirmativo, cómo debo proceder? Si no lo es, ¿cuál?

Answer 1

Parece que no hay un contraejemplo porque la afirmación parece seguir siendo válida aunque se elimine el requisito de continuidad absoluta. Voy a escribir una exposición autocontenida aquí, pero los detalles se pueden encontrar en Funciones de variación limitada y problemas de discontinuidad libre por Ambrosio, Fusco y Pallara.

---

$\textbf{Definition:}$ Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico localmente compacto y separable. Sea $\mu: \mathcal{B}(X) \to [0,\infty]$ sea una medida. El conjunto de todos los puntos $x \in X$ tal que $\mu(U) > 0$ por cada nbhd $U$ de $x$ es el soporte $\mu$ denotado por $\text{supp}(\mu)$ . Se puede demostrar que se trata de un conjunto cerrado.

$\textbf{Definition:}$ Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico localmente compacto y separable. Sea $\mu: \mathcal{B}(X) \to [0,\infty]$ sea una medida. Si $\mu$ es finita en conjuntos compactos, entonces se llama medida de Radon.

Se puede demostrar que la medida de Lebesgue es finita en conjuntos compactos. Por lo tanto, es una medida de Radon.

$\textbf{Definition:}$ Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico localmente compacto y separable. Sea $\mu,\nu$ sean medidas de Radon en el Borel $\sigma$ -en $X$ . Sea $x \in \text{supp}(\mu)$ . Entonces, las derivadas superior e inferior se definen por: $$D^+_{\mu} \nu(x) = \limsup_{\rho \downarrow 0} \frac{\nu(B_{\rho}(x))}{\mu(B_{\rho}(x))}$$ $$D^-_{\mu} \nu(x) = \liminf_{\rho \downarrow 0} \frac{\nu(B_{\rho}(x))}{\mu(B_{\rho}(x))}$$

Bien, entonces la diferencia aquí es que has definido esto en términos de cubos y demás. Pero debido a que los cubos en $\mathbb{R}^n$ se puede aproximar por bolas, en realidad no hay ningún problema real aquí. Las tres definiciones anteriores proporcionan un trasfondo suficiente para la siguiente proposición.

$\textbf{Proposition:}$ Sea $\mu,\nu$ sean medidas de Radon en $\mathbb{R}^n$ y que $t \geq 0$ sea una constante. Para cualquier conjunto de Borel $E \subseteq \text{supp}(\mu)$ se cumple lo siguiente:

1. Si para todos $x \in E$ tenemos que $D_{\mu}^- \nu(x) \leq t$ entonces $\nu(E) \leq t \mu(E)$ .

2. Si para todos $x \in E$ tenemos que $D^+_{\mu} \nu(x) \geq t$ entonces $\nu(E) \geq t \mu(E)$ .

A nosotros sólo nos interesa la primera afirmación. En concreto, dejemos que $\mu$ sea la medida de Lebesgue restringida al Borel $\sigma$ -álgebra. A continuación, observamos que $\text{supp}(\mu) = \mathbb{R}^n$ . Si $\nu$ es una medida finita de Borel, entonces $\nu$ es obviamente una medida Radon. Por lo tanto, su afirmación parece realmente válida. En el libro, la demostración se hace mediante el teorema de cobertura de Vitali-Besicovitch.