Demuestre que el conjunto $\{A\textbf{x} \mid \|\textbf{x}\|_2=1\}$ es una elipse, y describir sus dos semiejes (dirección y longitud) en términos de $A$ .

Question

Sea $A$ ser un $2 \times 2$ matriz simétrica con todos los valores propios positivos. Demostrar que el conjunto $$\{A\textbf{x} \mid \|\textbf{x}\|_2=1\}$$ es una elipse, y describir sus dos semiejes (dirección y longitud) en términos de $A$ .

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¿Cómo podemos encontrar dos vectores $\bf{v_1}$ , $\bf{v_2}$ y dos números positivos $\lambda_1$ , $\lambda_2$ tal que
$A\bf{v_1} = \lambda_1 f_1$ , $A\bf{v_2} = \lambda_2 f_2$ , $(\bf{v_i}, \bf{v_j})=\delta_{ij}$ donde $\delta_{ij}$ denota el símbolo de Kronecker?

Answer 1

Tenga en cuenta que $A$ es simétrica, es diagonalizable y podemos encontrar una base ortonormal $\{ v_1, v_2 \}$ de vectores propios con sus correspondientes valores propios $\lambda_1$ y $\lambda_2$ . Para $x \in \mathbb{R}$ tal que $\|x \| = 1$ podemos encontrar $\theta$ tal que

$$x = \cos(\theta) v_1 + \sin(\theta) v_2.$$

Asegúrate de que entiendes por qué.

Entonces tenemos

$$Ax =A(\cos(\theta) v_1 + \sin(\theta) v_2)=\lambda_1 \cos(\theta)v_1+\lambda_2 \sin(\theta)v_2,$$

que traza una elipse con ejes a lo largo de $v_1$ y $v_2$ con longitudes $\lambda_1$ y $\lambda_2$ como $\theta$ va de $0$ a $2\pi$ .