Matrices y rangos con una variable desconocida

Question

Se trata de encontrar el rango de una matriz en la que uno de los elementos es una variable desconocida.

Vi esto en línea hace unos días y he estado luchando para averiguar cómo encontrar el rango de esta matriz para todos los valores de $a$ : \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 4\\ a & 4 & 10 & 1\\ 1 & 7 & 17 & 3\\ 2 & 2 & 4 & 3\\ \end{pmatrix}

Sé que el rango de una matriz se puede deducir calculando cuántos vectores columna (o fila) independientes tiene la matriz. Alternativamente, se puede encontrar la forma fila-echelón de la matriz y observar cuántas filas distintas de cero tiene la matriz. $rref$ tiene, pero la variable desconocida me confunde al hacer ambas cosas.

¿Cuál es la mejor manera de encontrar el $rref$ ¿o deducir vectores fila (o columna) independientes? ¡Cualquier ayuda será muy apreciada!

Answer 1

He aquí el primer paso:

Reordenando algunas de las filas, tenemos $$\left[\begin{array}{cccc} 1&7&17&3 \\ 2&2&4&3 \\ 3&1&1&4 \\ a&4&10&1 \end{array} \right].$$

A continuación, realizar las operaciones de fila $R_2 \to R_2 - 2R_1$ , $R_3 \to R_3 - 3R_1$ y $R_4 \to R_4 - aR_1$ tenemos $$\left[\begin{array}{cccc} 1&7&17&3 \\ 0&-12&-30&-3 \\ 0&-20&-50&-5 \\ 0&4-7a&10-17a&1-3a \end{array} \right].$$

¿Puedes seguir desde aquí?