$(n^2 - 1)!$ es múltiplo de $(n!)^n$

Question

Pregunta: Encontrar todos los enteros positivos $n$ tal que $(n^2 - 1)!$ es un múltiplo de $(n!)^n$ .

Puedo demostrar que la condición requerida falla si $n$ es un primo, y por cálculo directo, también falla para $n=4$ . Después de hacer unos pequeños ejemplos a mano, creo que la respuesta requerida es 1 y todos los compuestos mayores que 4. Sin embargo, no consigo demostrarlo.

Para cada primo $p<n$ intenté contar el número de apariciones de $p$ en ambos lados, pero entiendo que se supone que debo comparar $n(\lfloor{\frac{n}{p}} \rfloor + \lfloor{\frac{n}{p^2}} \rfloor +\dots)$ contra $\lfloor{\frac{n^2-1}{p}} \rfloor + \lfloor{\frac{n^2-1}{p^2}} \rfloor + \dots$ que no es obvio comparar.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Suponga que tiene $n^2$ objetos de $n$ colores de forma que cada color aparezca exactamente $n$ veces. ¿En cuántos patrones de colores puedes disponer estos objetos en línea? Responde mediante combinatoria estándar: $$A=\frac{n^2!}{n!n!\cdots n!}=\frac{n^2!}{n!^n}$$ (Podemos ordenar los objetos en $n^2!$ formas, pero dentro de cada grupo de color, identificamos el $n!$ posibles pedidos). Se trata, por supuesto, de un número entero.

Si vamos más allá y permitimos que los colores se permuten (es decir, identificamos los arreglos que muestran el mismo patrón, pero con diferentes asignaciones generales de color), contamos $$ B=\frac A{n!}=\frac{n^2!}{n!^{n+1}}$$ y sigue siendo un número entero.

Nuestra pregunta es, ¿cuándo $$C:=\frac A{n^2}=B\cdot \frac{n!}{n^2}$$ es un número entero. Este es el caso siempre que $n^2$ divide $n!$ es decir, siempre que $n$ divide $(n-1)!$ . Esto ocurre finalmente cuando $n$ es el producto de dos enteros distintos $<n$ para todos los compuestos excepto los cuadrados primos.

Pero aunque $n=p^2$ con $p>2$ tenemos $p$ y $2p$ entre los factores que definen $(n-1)!$ y por lo tanto $n$ vuelve a dividir $(n-1)!$ .

Esto demuestra que $C$ es un número entero para todo compuesto $\ne 4$ . Como ya trató los casos $n=1$ , $n=4$ y prime $n$ Esto completa el resultado.