Sea $K$ sea el campo obtenido por adyacencia a $\mathbb{Q}_p$ una raíz $\alpha$ del polinomio $f(x)=x^p-x-\dfrac{1}{p}$ . Debo probar que $K \supset \mathbb{Q}_p$ es una extensión de Galois de grado $p$ . Me las arreglé para demostrar que $K$ tiene grado $p$ :tomar $\dfrac{1}{\alpha}$ vemos que es una raíz de $x^p-px^{p-1}-p$ que es un polinomio de Eisenstein.
No sé cómo demostrar que tenemos todas las raíces de $f$ .
Tiene razón. Se pueden utilizar (las mismas ideas que en la demostración del) lema de Hensel. Vamos a demostrar algo un poco más general. Sea $[K:\mathbf{Q}_p] < \infty$ sea el campo base con campo residuo $k$ . Sea $q$ dividir el orden de $k$ y que $\pi_K$ denota un uniformizador de $K$ . Entonces cualquier raíz de
$$f(x) = x^q - x - \pi^{-1}_K$$
define una extensión de Galois de $K$ con grupo de Galois abeliano de exponente $p$ y orden $q$ . Toma $K = \mathbf{Q}_p$ y $q = p = |\mathbf{F}_p|$ y $\pi_{\mathbf{Q}_p} = p$ y obtendrá su pregunta concreta.
Como en tu argumento, el polinomio es recíproco de un polinomio de Eisenstein y por tanto es totalmente ramificado de grado $q$ . Sea $\pi:=\pi_L$ denota un uniformizador de $L$ para que $\pi^{-1}$ es una raíz de $f(x)$ y $L = K(\pi)$ . Normalizar las valoraciones de modo que $v(\pi_L) = 1$ y $v(\pi_K) = q$ y $v(p) \ge q$ .
$$\begin{aligned} f(x + t) = \ & (x+t)^q - (x+t) - 1/\pi_K \\ = \ & f(x) + t^q - t + p h(x,t), \end{aligned} $$
donde
$$h(x,t) = t \sum_{k=1}^{q-1} \frac{1}{p} \binom{q}{k} x^k t^{q-k-1} \in t \mathbf{Z}[x,t]$$
es un polinomio de grado máximo $q-1$ en $x$ . En particular, si $v(x) = -1$ y $v(t) \ge 0$ entonces
$$v(p h(x,t)) \ge v(t) + v(p) + v(x^{q-1}) \ge v(t) + v(\pi_K) - (q-1) v(\pi) = v(t \pi).$$
En particular, con $v(x) = -1$ y $v(t) \ge 0$ tenemos
$$f(x+t) = f(x) + t^q - t \mod \pi t.$$
Sea $S$ sea cualquier elección fija de representantes en $\mathcal{O}_K$ para $k$ (digamos los ascensores Teichmuller). Dado que $q$ divide el orden de $k$ existe un subcampo $\mathbf{F}_q \subset k$ .
Reclamación: Sea $a_0 \in S$ sea un elemento que se reduzca a $\mathbf{F}_q \subset k$ . Existe una secuencia (única) $a_i \in S$ (según $a_0$ ) tal que, si $$x_n = \pi^{-1} + a_0 + a_1 \pi + \ldots + a_{n-1} \pi^{n-1} \mod \pi^n,$$ entonces $$f(x_n) \equiv 0 \mod \pi^{n}.$$
Lo demostramos por inducción. Para el caso $n = 0$ (en la que no tenemos elección), obtenemos (observando que $f(\pi^{-1}) = 0$ ):
$$f(x_0) = f(\pi^{-1} + a_0) = a^q_0 - a_0 \pmod \pi = 0 \pmod \pi,$$
mediante la construcción de $a_0$ desde $t^q - t$ se desvanece sobre $\mathbf{F}_q \subset k$ . Para $n > 0$ ,
$$f(x_{n-1} + a \pi^n) = f(x_{n-1}) - a \pi^n \pmod \pi^{n+1},$$
y así se puede elegir $a = a_n$ de forma única para que $f(x_{n}) \equiv 0 \pmod \pi^{n+1}$ . Por supuesto, $x_{\infty}$ es entonces una raíz de $f(x)$ en $L$ tal que $x_{\infty} = \pi^{-1} + a_0 + \ldots$ , y por lo tanto hay $q$ raíces distintas en $L$ y por lo tanto $L/K$ es el campo de división del polinomio $x^q - x - 1/\pi_K$ . Si $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$ es un automorfismo de Galois, está determinado por la acción sobre $\pi^{-1}$ . Por lo tanto $\sigma$ puede etiquetarse mediante $a \in \mathbf{F}_q$ a través de la identificación: $$[a] \pi^{-1} = \pi^{-1} + a \mod \pi.$$ Claramente esto define un homomorfismo inyectivo $$\mathrm{Gal}(L/K) \rightarrow \mathbf{F}_q,$$ y la reclamación queda demostrada.
Es sólo el lema de Hensel.
En primer lugar, tenga en cuenta que el $p$ -valoración de $\alpha$ est $-1/p$ a partir de la identidad $\alpha^p-\alpha=1/p$ se deduce que $v_p(\alpha) <0$ y entonces por la desigualdad triangular $v_p(\alpha^p)=v_p(\alpha^p-\alpha)=-1$ .
Poner $K = \mathbb{Q}_p(\alpha)$ y $y = x - \alpha$ queremos demostrar que el polinomio $g(y) = (y + \alpha)^p - (y + \alpha) - \frac{1}{p} \in K[y]$ tiene $p$ raíces en $K$ .
Ahora escribe $g(y) = y^p + c_{p - 1}y^{p - 1} + \cdots + c_2y^2 + (c_1 - 1)y$ donde cada $c_i$ está en el ideal máximo de $\mathcal{O}_K$ . De hecho, cada $c_i$ es de la forma $p\cdot d_i \cdot \alpha^{p-i}$ donde $d_i$ es un número entero. Por lo tanto, tenemos $v_p(p\cdot \alpha^{p-i})= 1-(p-i)/p=i/p>0$ .
En el campo de los residuos, tenemos $\overline{g}(\overline{y}) = \overline{y}^p - \overline{y}$ que tiene $p$ raíces diferentes, a saber, los elementos de $\mathbb{F}_p$ .
Así, por Lema de Hensel para cada elemento de $\mathbb{F}_p$ existe una raíz única de $g$ en $K$ levantando ese elemento.
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