cálculo de la cadena de markov

Question

Considero una cadena de Markov de 2 estados: $X = \{1,2\}$ las transiciones son $M(i,j)$ y la matriz tiene una única distribución estacionaria $\pi$ :

$$ \pi(1) = \frac{M(2,1)}{2-M(1,1) - M(2,2)} \\ \pi(2) = \frac{M(1,2)}{2-M(1,1) - M(2,2)}. $$

Intento calcular $$ \sum_{i,j\in X} \pi(i) (M^k(i,j) -\pi(j)) \mu_i \mu_j $$ donde $\mu_1, \mu_2$ son reales. Esto se supone que es $$ \pi(1) \pi(2) (\mu_1 - \mu_2)^2 (1-M(1,2) - M(2,1))^k $$ ¿pero por qué?

Answer 1

Cálculo de las potencias de $M$ (véase aquí: Cómo calcular las potencias de $2\times2$ Matrices de Markov ) muestra que la matriz cuya $(i,j)^{\rm th}$ entrada es $\pi(i)(M^k(i,j)-\pi(j))$ se puede escribir $$A:=\underbrace{\pi(1)\pi(2)(1-M(1,2)-M(2,1))^k}_{\rm scalar}\pmatrix{1&-1\\-1&1}.$$

La expresión deseada es \begin{eqnarray*} \mu^T A \mu &=&\pi(1)\pi(2)(1-M(1,2)-M(2,1))^k \pmatrix{\mu_1&\mu_2}\pmatrix{1&-1\\-1&1}\pmatrix{\mu_1\\ \mu_2}\\ &=&\pi(1)\pi(2)(1-M(1,2)-M(2,1))^k (\mu_1-\mu_2)^2. \end{eqnarray*}