Generalizaciones del teorema de Brun-Titchmarsh

Question

Sea $\pi(x;q,a)$ contar el número de primos $\leq x$ congruente con $a$ mod $q$ . El teorema de Brun-Titchmarsh establece que para todo $q< x$ , $(a,q)=1$ tenemos $$ \tag{1} \pi(x;q,a) \leq \frac{2x}{\varphi(q)\log(x/q)}. $$ Sea $f(n) = 1$ si $n$ es primo y $0$ de lo contrario. Entonces podemos reformular $(1)$ como (casi) decir que $$ \tag{2} \sum_{\substack{n\leq x\\ n\equiv a (q)}} f(n) \leq \frac{2}{\varphi(q)} \sum_{\substack{n\leq x\\ (n,q)=1}} f(n). $$ Tengo curiosidad por saber si se han estudiado desigualdades como éstas para otras funciones aritméticas $f$ . Existe una vasta literatura que demuestra fórmulas asintóticas, es decir, cosas como $$ \tag{3} \sum_{\substack{n\leq x\\ n\equiv a (q)}} f(n) \sim \frac{1}{\varphi(q)} \sum_{\substack{n\leq x\\ (n,q)=1}} f(n), $$ para varias funciones aritméticas específicas (por ejemplo, la función divisora o la función indicadora de números libres de cuadrados o números suaves). Sin embargo, no he encontrado mucha literatura sobre desigualdades como $(2)$ . De ahí mi pregunta:

¿Existe algún resultado que demuestre desigualdades como $(2)$ para funciones aritméticas distintas de la función de indicador primario?

Agradeceré cualquier referencia o comentario. Algunas ideas y observaciones sobre este tipo general de problema:

• El hecho de que $(1)$ tiene $x/q$ en lugar de $x$ dentro del $\log$ no es un mero tecnicismo; representa una barrera profunda para mejorar la desigualdad. Por analogía, desigualdades como $(2)$ podría ser demostrable sólo en una forma ligeramente más débil.
• Normalmente, uno se preocupa más por el rango de validez y la cantidad de uniformidad de las fórmulas del tipo $(3)$ y no la calidad de los términos de error (aunque éstos también son importantes). Dado que el rango completo de validez y uniformidad conjeturado para fórmulas como $(3)$ rara vez se conocen, desigualdades como $(2)$ parecen una interesante vía de investigación, ya que tales desigualdades (por analogía con $(1)$ ) puede mantenerse en rangos más amplios.
• Mi motivación original era pensar en números suaves en progresiones aritméticas. En ese caso, la constante $2$ surge de pensar en lo que podría ocurrir si la conjetura de Vinogradov sobre el menor no-residuo cuadrático módulo de un primo fuera falsa (básicamente, si $y$ es lo suficientemente pequeño, cada $y$ -es un residuo cuadrático, y éstos (conjeturalmente) se equidistribuirían en el $\varphi(p)/2$ clases de residuos disponibles).
• Resultados de equidistribución como $(3)$ a menudo requieren herramientas analíticas complejas/armónicas, como la distribución de ceros de $L$ -o estimaciones de sumas de Kloosterman (por ejemplo, en el caso de la función divisora). Sin embargo, el teorema de Brun-Titchmarsh (en su forma original) sólo utiliza la teoría elemental del tamiz. Si se cumplen desigualdades como $(2)$ puede demostrarse sin el uso de una "maquinaria tan pesada", ésta sería otra razón por la que resulta interesante estudiarlos.

Answer 1

Sí, hay varios resultados que responden a la pregunta que usted plantea, con gran generalidad.

1. Linnik, en su monografía sobre el método de dispersión, demostró un análogo de (2) para el $k$ -ésima función divisora. Concretamente, $$\sum_{\substack{n \le x \\ n \equiv a \bmod q}} d_k(n) \ll \frac{x}{q} \left(\frac{\phi^{r-1}(q)}{q^{r-1}}\log x \right)$$ uniformemente para $q \le x^{1-\varepsilon}$ .

2. Peter Shiu (alumno de Halberstam) lo generalizó en su artículo de Crelle ''A Brun-Titchmarsh theorem for multiplicative functions'' (J. Reine Angew. Math. 313 (1980), 161-170) a una amplia clase de funciones multiplicativas. En este caso, el límite adopta la forma $$\sum_{\substack{n \le x \\ n \equiv a \bmod q}} f(n) \ll \frac{x}{q} \frac{1}{\log x}\exp\left( \sum_{\substack{p \le x \\ p \nmid q}} f(p) \right)$$ uniformemente para $q\le x^{1-\varepsilon}$ con una constante implícita que sólo depende de $f$ y $\varepsilon$ . De hecho, el resultado de Shiu también permite añadir la restricción adicional $n \in [x-y,x]$ . Aquí $\frac{1}{\log x}\exp\left( \sum_{\substack{p \le x \\ p \nmid q}} f(p) \right)$ surge como el valor medio de $\alpha$ sobre enteros coprimos a $q$ (hasta una constante multiplicativa acotada lejos de $0$ y $\infty$ ), aplicando, por ejemplo, el teorema de Wirsing a $f(n) \cdot 1_{(n,q)=1}$ .

3. Otra generalización fue dada por M. Nair y G. Tenenbaum en ''Short sums of certain arithmetic functions'' (Acta Math. 180 (1998), nº 1, 119-144), a partir de un trabajo anterior de Nair. En concreto, demuestran que "multiplicativo" puede sustituirse por (una noción débil de) "submultiplicativo", dependencia de la constante de $f$ puede hacerse más específica, y la condición de crecimiento impuesta por Shiu (que no he mencionado) puede debilitarse considerablemente. Además, se pueden obtener límites similares para funciones (sub)multiplicativas en varias variables evaluado en polinomio argumentos. Esta generalización conduce a nuevos resultados. A. Hildebrand, en su reseña de MathSciNet, califica esta generalización de "de gran alcance" y "definitiva".

4. Que yo sepa, ningún autor ha intentado optimizar la constante en la estimación (2) en el entorno multiplicativo.