Qué $\sum \limits_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n}(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n})$ converge (absolutamente)?

Question

He tenido suerte con este. Ninguno de la convergencia de las pruebas saltan a la mente.

He intentado buscar en ella en esta forma $\sum \sin n\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}$ y aplicar Dirichlets de la prueba. Sé que $\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{n} \to 0$ pero no estoy seguro si es decreciente.

Respecto a la convergencia absoluta, he intentado:

$$|\sin n\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}|\geq \sin^2 n\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}=$$

$$=\frac{1}{2}\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}-\frac{1}{2}\cos 2n\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}$$

Pero de nuevo estoy atascado con $\cos 2n\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}$.
Suponiendo que converge, entonces me he demostrado que $\sum \sin n\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}$ no converge absolutamente.

Answer 1

La secuencia $$a_n=\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}}{n}$$ is decreasing because proving $a_{n+1}<a_n$ reduces to proving $$\frac{n}{n+1}<1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}$$ que es claramente cierto.

También las sumas $$s_k=\sum_{n=1}^k \sin n$$ are bounded. (This can be easily proved by writing $\el pecado n$ in its complex form and using finite geometric formula; in fact $|s_k|$ are bounded by $\frac{1}{|1-e^i|}+\frac{1}{|1-e^{-i}|}$).

Además $a_n\to 0$ $n\to \infty$ porque $1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\approx \log n$.

Así que la serie converge por Dirichlet de la prueba. Como Shai se muestra a continuación, la convergencia no es absoluta.

Answer 2

Para demostrar que la serie no converge absolutamente, es suficiente para mostrar que $\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {|\frac{{\sin n}}{n}|} = \infty$. Para este propósito, ver esto: el párrafo que empieza con "no Es absolutamente convergente" así como el uno, empezando con "Esta serie de exposiciones en lugar de conductas irregulares" (dos enfoques diferentes).