En la Fig. $9.16$ , $P$ es un punto en el interior de un paralelogramo $ABCD$ .

Question

En la Fig. $9.16$ , $P$ es un punto en el interior de un paralelogramo $ABCD$ .
Demuestra que $ar[APB]+ar[PCD]=1/2 \cdot ar[ABCD]$

No tengo ni idea de cómo solucionarlo.

Answer 1

CONSEJO: Dibuja $h$ que pasa por $P$

Tenga en cuenta que $h=x+y$ entonces $$A(\triangle APB)+A(\triangle DPC)=\frac{\overline{AB}\cdot x}{2}+\frac{\overline{DC}\cdot y}{2}$$ Cómo $ABCD$ es un paralelograma, entonces $\overline{AB}=\overline{DC}$

$$\frac{\overline{AB}\cdot x}{2}+\frac{\overline{DC}\cdot y}{2}=\frac{\overline{DC}\cdot x}{2}+\frac{\overline{DC}\cdot y}{2}=\frac{\overline{DC}(x+y)}{2}=\frac{\overline{DC}\cdot h}{2}=\frac{A(ABCD)}{2}$$

Answer 2

Sea $(APB)$ sea el área de la figura $APB$ .

Trace una línea paralela a $AB$ que pasa por el punto $P$ . Y que $E,F$ sea el punto de intersección de la línea y $BC,AD$ respectivamente.

A continuación, observando que las cifras $ABEF, FECD$ son paralelogramos, tenemos $$\begin{align}\color{red}{(APB)}+\color{green}{(PCD)}&=\color{red}{(AEB)}+\color{green}{(ECD)}\\&=\color{red}{\frac 12(ABEF)}+\color{green}{\frac 12(FECD)}\\&=\frac{1}{2}\left((ABEF)+(FECD)\right)\\&=\frac{1}{2}(ABCD).\end{align}$$