Este es el ejercicio II.2.4 de Hatshorne:
Sea $A$ sea un anillo y $(X,\mathcal{O}_X)$ un esquema. Tenemos el mapa asociado de láminas $f^\#: \mathcal{O}_{\text{Spec } A} \rightarrow f_* \mathcal{O}_X$ . Tomando secciones globales obtenemos un homomorfismo $A \rightarrow \Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ . Por tanto, existe un mapa natural $\alpha : \text{Hom}(X,\text{Spec} A) \rightarrow \text{Hom}(A,\Gamma(X,\mathcal{O}_X))$ . Mostrar $\alpha$ es biyectiva.
Podemos encontrar un mapa $\beta: \text{Hom}(A,\Gamma(X,\mathcal{O}_X)) \rightarrow \text{Hom}(X,\text{Spec} A)$ enviando un mapa $g: A \rightarrow \Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ a un mapa de $X$ a $\text{Spec} A$ definida del siguiente modo:
Primero tomando la cubierta abierta afín de $X = \cup \, \text{Spec} A_i$ entonces tomando el espectro del mapa $g$ (después de ser compuesto con el mapa de restricción, es decir, considerar $g_i: A \rightarrow A_i$ y tomar $\text{Spec} g_i$ ), y pégalos. Los detalles están en el post: Demostrar que el mapa natural $\alpha : \text{Hom}(X,\text{Spec} A) \rightarrow \text{Hom}(A,\Gamma(X,\mathcal{O}_X))$ es un isomorfismo .
Mi pregunta es : Cómo mostrar el mapa $\alpha$ y $\beta$ son inversos entre sí?
La cuestión en el caso afín es casual, donde $\alpha$ es simplemente "tomar secciones globales" y $\beta$ es "tomar espectro". Ambos son "inversos" entre sí. Sin embargo, ¿cómo demostrar esto en el caso general en esquema (no sólo esquemas afines) . En otras palabras, la adjunción de $\Gamma$ y $\text{Spec}$ está en el caso afín, por lo tanto es "local". Pero, ¿cómo "pegar estas adjunciones"?
Cualquier prueba directa sobre "el mapa $\alpha$ y $\beta$ son inversos entre sí" es bienvenido :)
P.D. Sé que existe una demostración en un contexto más amplio sobre el espacio localmente anillado, es decir https://stacks.math.columbia.edu/tag/01I1 pero aún espero practicar el método de pegar cosas.
