$\ell^p(I)$ y un conjunto denso de este espacio

Question

Sea $I$ sea un conjunto infinito y $1\leq p<\infty$ . Demuestre que $\ell^p(I)$ tiene un conjunto denso de la misma cardinalidad que $I$ .

Para ello pongo

$$X=\{(x_i); x_i\in \Bbb C , x_i=0 \text{ for all but for finitely many } i\in I\}.$$

Por cada $(\alpha_i) \in \ell^p(I)$ tenemos $\sum_{i\in I}|\alpha_i |^p < \infty$ . Así, para cada $\epsilon >0$ , $\sum_{i\in I-\{i_1,...,i_n\}}|\alpha_i |^p < \epsilon$ entonces $x=(x_i)$ donde $x_{i_j}=\alpha_{i_j}$ para $j=1,...,n$ pertenece a $X$ y $\|\alpha - x\| < \epsilon$ Así pues $X $ es denso en $\ell^p(I)$ . ¿Estoy en lo cierto? ¿Cómo puedo demostrar que la cardinalidad $X$ es el mismo $I$ ?

Answer 1

En primer lugar, debe definir $X$ tal que $x_i \in D$ para algún subconjunto denso contable $D\subset \mathbb C$ o $|X| \geq |\mathbb R|$ . Más o menos el mismo argumento demostrará que $X$ es denso en $\ell^p(I)$ .

Para demostrar que $X$ tiene la misma cardinalidad que $I$ definir $F : I \to X$ ser el mapa que envía $i_0\in I$ a $(x_i)\in X$ que tiene la única entrada no nula 1 cuando $i=i_0$ (Digamos $1\in D$ ). Este mapa es inyectivo y por tanto $|I|\leq |X|$ . Por otra parte, dejemos que $X_n$ sea el conjunto de todas las secuencias $(x_i)\in X$ con $n$ términos distintos de cero y defina

$$X_n \to (I\times D)^n,\ \ (x_i)\mapsto \big( (i_1, x_{i_1}), \cdots, (i_n, x_{i_n})\big).$$

Entonces este mapa es inyectivo y $|X_n|\leq |(I\times D)^n|= |I \times D| = |I|$ como $I$ es infinito ( $|I|\geq |D|$ ). Así, $|X|\leq |I|$ . Resumiendo, tenemos $|I|=|X|$ .