Núcleo de una matriz entera, módulo de los enteros.

Question

Tengo una matriz entera $A$ como \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -2 & 2 \\ \end{pmatrix} Busco soluciones $(x_1,x_2) \in (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^2$ tal que $Ax=0\mod\mathbb{Z}$ . En este caso es fácil: la condición es $2(x_2-x_1)\equiv0\mod\mathbb{Z}$ por lo que $x_1\equiv x_2$ o $x_1 \equiv x_2+1/2$ . En otras palabras, el núcleo de $A$ como un mapa de $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^2$ a sí mismo tiene dos "componentes" $(x,x)$ y $(x,x+1/2)$ .

¿Existe una manera de encontrar los "componentes" de las soluciones en el sentido anterior, para un general $n\times n$ matriz entera de rango $n-1$ ? ¿Y en otros rangos?

Pensé en encontrar el $\mathbb{Q}$ -núcleo de $A-\mathrm{diag}(b_1,...,b_n)$ para cada tupla de enteros $(b_i)$ y luego ignorar los duplicados mod $\mathbb{Z}$ . Sin embargo, hay infinitas tuplas de este tipo, por lo que no está claro cuándo termina, incluso si termina en algún momento.

Answer 1

Una matriz entera $A$ (no necesariamente cuadrado) representa un mapa lineal $\alpha\colon\mathbb{Q}^m \to \mathbb{Q}^n$ . Sea $K$ sea el núcleo de $\alpha$ y que $S$ sea el conjunto $\{x\in \mathbb{Q}^m|\,\, \alpha(x)=0 \mod \mathbb{Z}\}$ .

Sea $\hat{K}$ sea $K/(K\cap\mathbb{Z}^m)$ y que $\hat{S}$ sea $S/\mathbb{Z}^m$ . Es decir, $\hat{S}$ es el conjunto de soluciones que busca.

Claramente $K\subseteq S$ así que $\hat{K}\subseteq \hat{S}$ . Sus "componentes" son entonces elementos del grupo $\hat{S}/ \hat{K}$ .

El mapa $\alpha$ se restringe a un mapa lineal $\alpha'\colon\mathbb{Z}^m \to \mathbb{Z}^n$ . El cokernel de $\alpha'$ es un grupo abeliano finitamente generado, que será isomorfo a $\mathbb{Z}^r\oplus T$ para algún número entero $r$ y grupo abeliano finito $T$ .

Reclamamos: $$\hat{S}/ \hat{K}\cong T.$$

Prueba: Elementos de $S/{K}$ están en correspondencia uno a uno con sus imágenes bajo $\alpha$ que se encuentran en $\mathbb{Z}^n$ . Dado $y\in \mathbb{Z}^n$ tenemos $y\in$ Im $(\alpha)$ sólo si $jy\in$ Im $(\alpha')$ para algún número entero $j$ . En otras palabras, $y\in \mathbb{Z}^n$ es a imagen de $S/K$ precisamente cuando $y$ representa un elemento en $T$ .

Así, podemos identificar $S/K$ con el $y\in \mathbb{Z}^n$ que representan elementos de $T$ . Los puntos enteros de $S/K$ a la imagen de $\alpha'$ . Así pues, hemos inducido un isomorfismo $\hat{S}/\hat{K}\cong T$ . $\qquad\qquad\Box$

En la práctica esto significa que tu problema es equivalente a tomar una matriz de presentación para un grupo abeliano finito, y calcular una base para la torsión $T$ con respecto a la forma estándar $\bigoplus_{i=1}^l \mathbb{Z}/k_i\mathbb{Z}$ .