No estoy seguro de que esto responda a la pregunta "¿por qué ocurre esto?". Pero espero que proporcione una visión más geométrica/abstracta de esto.
Me parece que tanto la eliminación Gram-Schmidt como la Gaussiana pueden describirse como llevar una base dada a una base especial. El proceso Gram-Schmidt produce una base ortonormal, mientras que la eliminación gaussiana produce una base que es estándar respecto a una bandera fija (con algunos problemas potenciales de degeneración).
Por una bandera, me refiero a una cadena de subespacios $V_1\leq V_2 \leq \dotsb \leq V_{n-1} \leq V_n = \mathbb{F}^n$ . Una base $v_1,\dotsc v_n$ estándar a esta bandera tiene la propiedad $\langle v_1,\dotsc, v_k \rangle = V_k$ . Si nuestra bandera viene dada por $V_k = \langle e_1,\dotsc, e_k \rangle$ donde $e_i$ son las bases en las que escribimos nuestras matrices, entonces la matriz que tiene como columnas cualquier otra base estándar es triangular superior.
Nota: al considerar sólo las bases nos hemos centrado realmente en el caso de que nuestras matrices sean invertibles, pero estas ideas podrían extenderse al caso singular.
Fijando una base $e_i$ también obtenemos una bandera complementaria libre con subespacios $W_{n-k} = \langle e_{k+1},\dotsc, e_n \rangle$ para que $V_k \oplus W_{n-k} = \mathbb{F}^n$ para cada $k$ . Una matriz con columnas normalizadas con respecto a esta bandera es triangular inferior. Podría haber empezado sólo con esta bandera, pero el par opuesto será útil.
Ahora observamos que el paso de proyección de su proceso Gram-Schmidt alterado es precisamente (en el paso $k+1$ ) a lo largo de $V_k$ en $W_{n-k}$ y luego normalizar (en el paso $1$ simplemente normalizamos). Debemos tener cuidado aquí porque esto sólo funciona si nuestra base elegida $u_1,\dots,u_n$ tiene la propiedad: $u_k$ proyectado sobre $W_{n-k+1}$ no está en $W_{n-k}$ ya (es decir, su componente en el $e_k$ es distinto de cero).
De hecho, su $(u,v)$ podría considerarse exactamente el artilugio para conseguirlo sin tener que seguir $k$ alrededor.
Tenga en cuenta que puede adaptarlo fácilmente para asegurarse de que el número de la diagonal es exactamente $1$ y no sólo $\pm 1$ . Obviamente, algunas elecciones de base original causarán problemas, pero por lo demás esto llevará una base arbitraria a una norma con respecto a nuestra segunda bandera.
Correspondientemente, toma una matriz arbitraria (con salvedades) en una triangular inferior y obtenemos la descomposición LR en lugar de la descomposición QR.
Una cosa más a tener en cuenta es que hemos encontrado que la matriz triangular inferior con todos los $1$ en la diagonal. En particular, esto la hace unipotente y, de hecho, el conjunto de todas las matrices de este tipo es el radical unipotente $U^-$ del grupo de matrices triangulares inferiores invertibles $B^-$ . Así que lo que hemos redescubierto es que $U^-B$ cubre gran parte de $GL(\mathbb{F}^n)$ . En efecto, se trata de un subconjunto denso denominado "célula grande" de la descomposición de Bruhat; véase Caracterización de la célula grande de Bruhat de los grupos universales de Chevalley sobre $\mathbb C$ .
En este lenguaje de grupos de Lie (centrándonos en el caso invertible), lo que has encontrado es una forma de moverse entre la descomposición de Iwasawa y la descomposición de Bruhat (no estoy seguro de cómo se generalizaría esto a otros grupos de Lie semisimples/reductivos, pero creo que podría).
