El método probabilístico fuera de las matemáticas discretas

Question

En método probabilístico es una idea genial en combinatoria, teoría de grafos, etc., en la que, en lugar de construir algo a mano, se construye al azar y se demuestra que existe una probabilidad positiva de que se cumpla la propiedad que se desea.

Q : ¿Existen ejemplos de utilización de este método para demostrar resultados en otras áreas de las matemáticas, por ejemplo, geometría, topología, teoría algebraica de números,...? ?

---

A efectos de esta pregunta, quiero evitar resultados que sean "matemáticas discretas disfrazadas", por ejemplo, relativos a estructuras que viven en una triangulación de un espacio topológico (pero utilizar aproximaciones discretas de espacios topológicos para demostrar una propiedad original de ese espacio está bien). También me gustaría evitar la teoría de números (no algebraica), porque sus aplicaciones son bien conocidas.

Editar: Por último, aunque hay una clase similar de métodos en geometría algebraica, por ejemplo, donde se muestra que el conjunto de contraejemplos tiene codimensión positiva, o restringir a puntos genéricos, me gustaría evitar estos ejemplos, ya que también son bastante bien conocidos y tienen un sabor ligeramente diferente a la combinatoria método probabilístico

Answer 1

Una aplicación del método probabilístico en topología la encontramos Melanie Matchett Wood y yo:

Sea $H$ sea el grupo finito $(\mathbb Z/15) \rtimes Q_8$ donde generadores $i$ y $j$ de $Q_8$ actuar $\mathbb Z/15$ por multiplicación por -1 y 4 respectivamente.

Sea $S$ sea un conjunto finito de primos que incluya $2,3,$ y $5$ . Entonces existe una 3-manifold $M$ tal que $H$ es el cociente máximo de $\pi_1(M)$ de orden divisible sólo por primos en $S$ .

Sin embargo, $H$ no es en sí mismo el grupo fundamental de ningún 3-manifold.

De hecho, $H$ es el grupo más pequeño con esta propiedad.

La parte existencial de esta afirmación se demuestra utilizando el método probabilístico, es decir, demostramos que a al azar 3manifold tiene un grupo fundamental de esta forma con probabilidad positiva. La noción de 3-manifold aleatorio que utilizamos fue definida por Dunfield y Thurston, quienes también sugirieron utilizar el método probabilístico para demostrar la existencia de 3-manifolds con propiedades particulares.

La distribución de probabilidad relevante está en un espacio de grupos profinitos, los que la mayoría de los cálculos reducen a conjuntos de grupos finitos, que son discretos, por lo que se podría argumentar que esto es discreto disfrazado, pero el conjunto de clases de isomorfismo de grupos finitos ciertamente tiene un sabor diferente de lo que normalmente se considera en el método probabilístico en matemáticas discretas. Se podría hacer la afirmación menos discreta, aunque también menos concreta, diciendo que encontramos una caracterización de la clausura del conjunto de grupos fundamentales de 3-manifolds orientados dentro del espacio de clases de isomorfismo de grupos profinitos (con una topología natural) por el método probabilístico.

Una referencia es la Proposición 8.17 de nuestro documento Cocientes finitos de grupos de 3 manifoldos .