Antes de nada, estoy en el último curso del instituto y mis conocimientos de combinatoria y su notación son bastante limitados. Me topé con el triángulo de Pascal mientras me taladraba la cabeza con las expansiones binómicas, y rápidamente me fascinaron sus diversas propiedades. Cuando me fijé en las diagonales, quise desafiarme a mí mismo ideando fórmulas para las diagonales, y empecé con las dos primeras diagonales.
Una vez más, no estoy familiarizado con la notación estándar, así que, por favor, no le prestes atención por ahora. Sin embargo, agradecería mucho cualquier consejo sobre lo que debería cambiar, y dónde puedo aprender la notación estándar. Estoy haciendo este post de un "papel" que escribí para recoger mis pensamientos, se utilizarán capturas de pantalla de dicho documento.
Para las diagonales, utilizaré D n donde cada valor de n representa cada diagonal. (ej: D 2 \= [1, 2, 3, 4, 5, 6...]
Para los números dentro de los conjuntos de D n utilizaré d n .
D n \= [d 1 , d 2 , d 3 ...]
Así que para las dos primeras diagonales
D 1 : d n \= 1
D 2 : d n \= x
A medida que me acercaba a la tercera diagonal, mi mente saltó inmediatamente a la recursividad, y la fórmula para D n sería
D 3 : d n \= d n-1 + x; d n<1 \= 0 (esto se aplica a todas las fórmulas posteriores)
La fórmula para D 4 me tomó un poco más de tiempo, pero sabía que el conjunto de D 4 era mayor que D 3 por lo que su fórmula debe contener la fórmula de D 3 y otro término positivo. Después de un poco de lío, llegué a hacer el siguiente término de la siguiente manera.
D 4 : d n \= d n-1 + x + (d n-1 - d n-2 )
Al día siguiente, continué con mi lluvia de ideas e hice las 2 fórmulas siguientes.
D 5 : d n \= d n-1 + x + 2(d n-1 - d n-2 ) - (d n-2 - d n-3 )
D 6 : d n \= d n-1 + x + 3(d n-1 - d n-2 ) - 3(d n-2 - d n-3 ) + (d n-3 - d n-4 )
Me topé con un muro durante un rato, y me quedé mirando las fórmulas que tenía durante horas hasta que me di cuenta de algo. Miré los coeficientes de los términos y vi que se formaba un patrón; los coeficientes siguen el triángulo de Pascal. Esto se puede visualizar mejor en la imagen de abajo, que incluye las fórmulas de D 3 a través de D 8 .
Los coeficientes de las fórmulas parecen seguir indefinidamente los valores del triángulo de Pascal. Cabe señalar que para los conjuntos D n donde d 2 es un número impar, los coeficientes son siempre filas binomiales centrales y el último término es siempre negativo. Y para los conjuntos D n donde d 2 es un número par, los coeficientes son siempre filas centrales de trinomios y el último término es siempre positivo. Teniendo esto en cuenta, seguí el patrón para hacer la fórmula de D 11 y lo utilizamos para resolver d 10 de D 11 .
Así que aquí es donde estoy en este momento, nada más aparte de eso, excepto mis preguntas finales y algunas pruebas básicas en la parte inferior.
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¿He encontrado algo nuevo? No el uso de la fórmula en sí, porque sé que hay otros métodos mucho más eficientes, sino el patrón que estoy viendo en los coeficientes. ¿Otros métodos para obtener un número en una diagonal del triángulo de Pascal muestran las filas del triángulo de Pascal como lo hace este método?
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Independientemente de si esto es nuevo o no, ¿me pueden ayudar con la notación? Sé que hay alguna manera de hacer y notar una fórmula para fórmulas.