Número de soluciones posibles de una ecuación

Question

Si $x$ , $y$ y $z$ son números naturales, ¿cuántas soluciones hay para $x+y+z=25$ ?

¿Cómo puedo averiguarlo? Ni siquiera puedo empezar a diseccionar este problema. ¿Por dónde empiezo?

Answer 1

Supongamos que el "número natural" no incluye el 0. Tome 25 bolas y ponga una pared entre dos cualesquiera. Una partición $a+b+c=25$ es lo mismo que elegir entre dos paredes, y hay $\binom{24}{2} = 276$ de estos.

Si se admiten ceros, entonces $(x+1)+(y+1)+(z+1) = 28$ por lo que la respuesta es $\binom{27}{2} = 351$ .

Answer 2

Esto se denomina "función de partición" de 25. Véase aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_function_%28number_theory%29

No es una función fácil de calcular directamente: lo mejor es escribir un pequeño script que cuente las soluciones utilizando un bucle doble.

Answer 3

CONSEJO $\rm\ \ (x,y,z)\ \to\ \{x,\ x+y\}\ $ soluciones biyectas con dos subconjuntos elt de $\{1,2,\cdots,24\} $

Answer 4

He aquí una explicación más sencilla: Veamos la ecuación x + y = k donde x >= 0 && y >=0 el conjunto solución es de la forma {{k, 0}, {k-1, 1}, ... {0, k+1}} y hay (k+1) elementos en el conjunto.

x + y + z = k puede descomponerse en: x + (y + z) = k

si elegimos x = 0, las soluciones de (y + z) = k son k+1. si elegimos x = 1, las soluciones de (y + z) = k-1 son k. si elegimos x = 2, las soluciones de (y + z) = k-2 son k-1. si elegimos x = k, las soluciones de (y + z) = 0 son 1.

se trata de una simple suma de números naturales: 1 + 2 + 3 + ... + (k +1) = ((k + 1) * (k +2)/ 2)

Mis matemáticas son débiles, así que no sé cuáles son los nombres adecuados para llamar a algo.