Funciones sin raíces complejas, pero con raíces de cuaterniones

Question

Muchas introducciones a los números complejos comienzan con la pregunta "¿Cuáles son las raíces de $x^2 + 1 = 0$ ?"

Esta función no tiene raíces reales, pero sí raíces complejas.

¿Existen funciones que, de forma similar, no tengan raíces complejas pero sí tengan raíces en los cuaterniones?

Answer 1

Esta es una buena pregunta con una respuesta importante.

La respuesta es no, porque $\mathbb{C}$ tiene una propiedad llamada cierre algebraico. Esto significa que cualquier grado $n$ polinomio en $\mathbb{C}$ tiene $n$ factores (aunque algunos pueden repetirse), por lo que el polinomio siempre puede factorizarse completamente en términos lineales. En concreto, significa que todo polinomio tiene una raíz e, intuitivamente, no "falta" nada en $\mathbb{C}$ . Se trata de una propiedad muy importante sobre $\mathbb{C}$ Por eso es tan útil.

Los cuaterniones no tienen realmente la misma relación con $\mathbb{C}$ como $\mathbb{C}$ tiene que $\mathbb{R}$ como $\mathbb{C}$ se suma a $\mathbb{R}$ cosas que "faltan" en cierto sentido, mientras que $\mathbb{C}$ en realidad no necesita que se le añada nada, y los cuaterniones, $\mathbb{H}$ sólo hay que añadir raíces adicionales a polinomios que ya tienen raíces.

Answer 2

Quizás sorprendentemente, la respuesta aquí depende sobre todo de lo que se considere una función (y hay varias opciones más o menos válidas).

1. un mapeo de puntos de entrada a puntos de salida. en este caso la pregunta no es especialmente interesante porque se puede construir una función que tenga o no raíces en cualquier región.

2. una función continua definida utilizando sólo coeficientes complejos. aquí todavía hay ejemplos p.ej. xy-yx=1

3. funciones analíticas. se trata de una amplia clase de funciones que incluye todos los polinomios, los logaritmos y un montón de cosas más. No estoy seguro de la respuesta en este caso.