Sea V un espacio vectorial real de dimensión finita y sea $T ∈ L(V )$ . Defina $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ por

Question

Sea V un espacio vectorial real de dimensión finita y sea $T ∈ L(V )$ . Defina $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ por $f(λ) := dim~ range~ (T − λI)$ .

¿Qué condición en $T$ es equivalente a $f$ ¿es una función continua?

Answer 1

Pista:

• Desde $f(\lambda)$ es siempre un número entero, $f$ es continua en $\mathbb R$ si y sólo si es constante.

• Piense en el núcleo de $T- \lambda I$ ¿Qué es eso? Usando esto uno podría ver que $f(\lambda) = \dim V$ siempre que $\lambda$ es lo suficientemente grande.

• Utilizando las dos primeras observaciones, $f(\lambda)$ es constante si y sólo si $\cdots$