Información de Fisher en un modelo jerárquico

Question

Dado el siguiente modelo jerárquico, $$ X \sim {\mathcal N}(\mu,1), $$ y, $$ \mu \sim {\rm Laplace}(0, c) $$ donde $\mathcal{N}(\cdot,\cdot)$ es una distribución normal. ¿Hay alguna manera de obtener una expresión exacta para la información de Fisher de la distribución marginal de $X$ dado $c$ . Es decir, cuál es la información de Fisher de: $$ p(x | c) = \int p(x|\mu) p(\mu|c) d\mu $$ Puedo obtener una expresión para la distribución marginal de $X$ dado $c$ pero diferenciando con respecto a $c$ y luego tomar expectativas parece muy difícil. ¿Me estoy perdiendo algo obvio? Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

No existe una expresión analítica de forma cerrada para la información de Fisher para el modelo jerárquico que das. En la práctica, la información de Fisher sólo puede calcularse analíticamente para distribuciones de familia exponencial. Para familias exponenciales, la log-verosimilitud es lineal en los estadísticos suficientes, y los estadísticos suficientes tienen expectativas conocidas. Para otras distribuciones, la log-verosimilitud no se simplifica de esta manera. Ni la distribución de Laplace ni el modelo jerárquico son distribuciones de familia exponencial, por lo que una solución analítica será imposible.

Answer 2

Las dos de la Normal y Laplace son de la familia exponencial. Si se puede escribir la distribución en la forma exponencial entonces la matriz de información de fisher es el segundo gradiente del log-normalizador de la familia exponencial.