El problema de Waring

Question

El primer comentario sobre OEIS A002379 estados:

Es un importante problema sin resolver relacionado con el problema de Waring demostrar que a(n) = floor((3^n-1)/(2^n-1)) se cumple para todo n >= 1. Esto se ha comprobado para 10000 términos y es cierto para todo n suficientemente grande, por un teorema de Mahler. [Lichiardopol]

Editar -- una nueva igualdad
$$ \frac{2^n( 3^n \mod 2^n)}{4^n-2^n} -\frac{3^n \mod 2^n}{4^n-2^n} -\frac{2^n( (-2+3^n) \mod (-1+2^n))}{4^n-2^n} -\left(\frac{3}{2}\right)^n +\frac{3^n}{2^{n-1}} -\frac{1}{2^{n-1}} +\frac{2^{2 n}}{4^n-2^n} -\frac{2^{n+1}}{4^n-2^n} = 1 $$

Los artículos con $4^n-2^n$ en los denominadores son distancias y los elementos con $2$ ou $2^{n-1}$ son ubicaciones en la recta numérica.

Una forma alternativa es:
$$ \left\lfloor\left(\frac{3}{2}\right)^n\right\rfloor=\left\lfloor\left(\frac{3^n}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n-1}}\right)\right\rfloor $$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ {3^n-1\over2^n-1} = 3^n{1 \over 2^n-1} -{1 \over 2^n-1} \\ = {3^n \over 2^n} (1+ \frac 1{2^n}+\frac 1{4^n}) -\frac 1{2^n } (1+ \frac 1{2^n}+\frac 1{4^n}) \\ = {3^n \over 2^n} + \left(\frac {3^n}{4^n}-\frac {2^n}{4^n} +\frac {3^n}{8^n}-\frac {2^n}{8^n}+... \right) $$ y no es obvio, que el paréntesis es menor que la diferencia de $\frac {3^n}{2^n}$ al siguiente número entero superior. Por el contrario, esto está muy cerca del detalle en el problema de Waring (y sólo ligeramente más débil que la conjetura (no probada)) que los paréntesis en $$ {3^n \over 2^n} + \left(\frac {3^n}{4^n} - 0 + 0 ... \right) $$ es menor que esa diferencia.

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La siguiente imagen pretende hacer más visible el problema, que la cuestión es la de la distancia de $(3/2)^r$ al siguiente número entero. He dibujado el eje x de los números reales, dos marcas en números enteros consecutivos piso y ceil $(3/2)^N$ y tres ejemplos de posibles posiciones del $(3/2)^N$ en ese intervalo, de forma que los intervalos de Collatz/Waring alrededor de $(3/2)^N$ interferir de tres maneras diferentes con que los números enteros consecutivos. Las posiciones 1 y 3 contradicen las expectativas de los intervalos relacionados con Waring y con COllatz, y para las posiciones $k$ vemos que los intervalos están dentro de los límites dados por los números enteros consecutivos. También he añadido otra definición de límites para un intervalo alrededor de $(3/2)^N$ que siempre es menor que el intervalo unitario, pero incluye los intervalos de Collatz/Waring, que no he visto antes/en ningún otro sitio. Garantiza que como máximo $1$ entero está en ese intervalo.

La pregunta es: ¿cómo sabemos que $(3/2)^N$ se encuentra en una posición adecuada en el intervalo unitario de los números enteros consecutivos?

Answer 2

$a_n$ se define como el suelo de $3^n/2^n$ . El problema no resuelto es si eso es siempre igual al suelo de ${3^n-1\over2^n-1}$ .

EDIT: donde "siempre" parece significar "para todos". $n\ge2$ ".

Answer 3

Esta es otra respuesta, motivada por su consulta adicional en MO donde es probable que se cierre. Porque ahora entiendo su pregunta allí de una mejor manera esta respuesta puede ser útil también para la pregunta aquí.

First (la primera fórmula de MO) no hace otra cosa que expresar la diferencia entre $ {3^n\over2^n} $ y $ {3^n-1\over2^n-1} $ No hay nada que demostrar.
Segundo pregunta, si "una prueba de esa fórmula también probaría la fórmula" $$ \left\lfloor {3^n\over2^n} \right\rfloor = \left\lfloor {3^n-1\over2^n-1} \right\rfloor$$ que de hecho es la conjetura crítica (y sólo ligeramente diferente de la difícil y no probada conjetura del problema de Waring).

Bueno, la primera fórmula no contiene nada que demostrar - es sólo una declaración de la diferencia, pero donde una expansión explícita y la cancelación puede ayudar a expresarlo de una manera muy intuitiva - y sólo después de que queda por demostrar / probar , que también la expresión de la segunda fórmula es en realidad no sólo empíricamente, sino analíticamente cierto. Asi que aqui va mi segundo pensamiento al respecto.

Consideremos en primer lugar la representación de los números en el sistema de dígitos de $2^n$ . Escribamos $$ 3^n = m 2^n + r \qquad \qquad r \in (0..2^n-1) \tag 1 $$ A continuación, en la base del sistema de dígitos $b=2^n$ tenemos $$ 3^n = \mathtt{"m r.000"_{|_b}} \tag 2 $$ y $$ {3^n \over 2^n} = \mathtt{"m. r000"_{|_b}} \tag 3 $$
Ahora $ {3^n \over 2^n-1} ={3^n/2^n \over 1-1/2^n} $ es una serie geométrica con cociente $2^n$ y se produce como una repunidad: $$ {3^n/2^n \over 1-1/2^n} = \mathtt{" m. r" + "0.mr" +"0.0mr"+ ... _{|_b}} \tag 4$$ que puede escribirse como $$ {3^n \over 2^n-1} = \qquad \begin{array} {rcl} & & \mathtt {\; ^"m.m m m m m m \ldots \; ^"} \\ &+& \mathtt {\; ^"0.r r r r r r \ldots\; ^"} _{|_b} \end{array} \tag 5$$ y si añadimos lo que falta $ { -1\over 2^n-1}$ obtenemos $$ {3^n -1 \over 2^n-1} = \qquad \begin{array} {rcl} & & \mathtt{ \; ^" m.m m m m m m \ldots \; ^" } \\ &+& \mathtt{ \; ^" 0.r r r r r r \ldots \; ^" } \\ &-& \mathtt{ \; ^" 0.1 1 1 1 1 1 \ldots \; ^" } \\ \end{array} _{|_b} \tag 6 $$ En (3) vemos que $m$ es el valor mínimo de $3^n/2^n$ y lo que plantea su segunda pregunta, si (3) y (6) dan como resultado el mismo valor mínimo.

Con esta representación vemos fácilmente, que esto sólo puede suceder, si la expresión de los sumandos después de los puntos decimales no dan un acarreo en cada "dígito", es decir, que, el piso-igualdad sólo es cierto si $$ m + r - 1 \lt b-1 \tag 7$$ o con la referencia a un general/indeterminado $n$ $$ m_n + r_n - 1 \lt 2^n-1 \tag 8$$

(Esto se puede reelaborar para ajustarlo a las notaciones del problema de Waring).

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Una correcta gestión de su problema es así:

Su primera pregunta, si "una prueba de la primera ecuación en MO es también una prueba de la igualdad de los pisos" es en realidad un pensamiento en círculos: en esta primera ecuación hay nada que demostrar no es más que la formulación de la diferencia entre las dos expresiones $ {3^n\over2^n} $ y $ {3^n-1\over2^n-1} $ .

Puede reformularse para que sea más visible, qué de hecho debe demostrarse: y es que la condición (7) u (8) se cumple no sólo empíricamente para muchos valores $n$ pero por razones analíticas para todos $n$ (quizás por encima de un cierto límite inferior).