Ecuación de movimiento incluida la relación de transmisión

Question

El sistema rotacional de dos masas tiene la siguiente forma y se representa en el siguiente diagrama estructural.

donde $\tau_e$ , $\omega_1$ y $J_m$ - par motor, velocidad angular y momento de inercia

$\tau_s$ , $\tau_s$ , $\omega_2$ y $J_d$ - par en el eje, par de carga, velocidad angular y momento de inercia de la carga;

$K_{md}$ - rigidez del eje

Problema: cómo incluir una relación de transmisión $N=\frac{\omega_1}{\omega_2}$ en una ecuación de movimiento y en un diagrama de bloques, respectivamente?

$L=V-P=J_m \frac{\omega_1^2}{2}+J_d \frac{\omega_2^2}{2}-\frac{K_{md}(\phi_1-\phi_2)^2}{2}$

$V$ - cinética, y $P$ - energía potencial

Aquí está el Lagrangiano para todo el sistema. Y no entiendo cómo insertar la relación de transmisión aquí?

Answer 1

Introduzca directamente la relación constante entre los ángulos de rotación de los engranajes, que es la misma relación entre sus velocidades angulares derivadas en el tiempo. Si

$$N=\dfrac{{\phi_1}}{{\phi_2}}=\dfrac{\dot{\phi_1}}{\dot{\phi_2}}=\dfrac{\omega_1}{\omega_2}$$

entonces la acción es:

$$L=V-P=\frac{\omega_2^2}{2} \left(J_m N^2 +J_d \right)-\frac{K_{md}}{2}\;(N-1)^2\;\phi_2^2.$$

Answer 2

No tengo suficiente reputación para comentar o votar negativamente la respuesta existente (aceptada).

Por qué creo que la respuesta es diferente

[motor]---)--[GB]---)--===shaft=====--)--[load]
          phi1    phi1'             phi2

En presencia de un eje flexible hay 3 posiciones angulares. Véase el diagrama ASCII anterior. El punto importante a tener en cuenta es que la definición de N es no $\omega_1/\omega_2$ . Es $\omega_1 / \omega_1'$ y $\omega_1' \neq \omega_2$ cuando el eje está torcido. El eje puede estar torcido en distintos momentos durante el funcionamiento del sistema.

De hecho el OP ha preguntado

Tengo una pregunta. Si N=1, ¿se pierde el término con la rigidez del eje? Esto es muy extraño, ¿cómo explicarlo?

Así que voy a publicar mi respuesta a la pregunta duplicada formulada al OP en engineering.se.

Mi respuesta en engineering.se

Suponiendo que la caja de cambios esté en el extremo izquierdo del eje (es decir, sin eje flexible entre el motor y la caja de cambios).

1. La velocidad angular en el extremo izquierdo de la caja de cambios es $\omega_1$ .
2. La velocidad angular del lado del eje de la caja de cambios se asume como $\omega_1' = \frac{\omega_1}{N}$ .
3. La velocidad angular en el extremo derecho del eje es $\omega_2$ . Así que el par en el eje es $\pm K_m (\frac{\phi_1}{N} - \phi_2)$ . (signo a comprobar).
4. Por la forma en que describí la caja de cambios, $\omega_1' < \omega_1 $ . por lo que el par en el eje cuando actúa sobre el motor a través de la caja de cambios es $\frac{1}{N}$ . Esto puede verse en la siguiente derivación.
5. Como he supuesto que el eje está conectado directamente a la carga, el par en el eje se pone a disposición 1:1. Esto también se puede ver en la siguiente derivación.

(La derivación de abajo debe ser verificada independientemente por OP) $$ L = \frac{J_m \omega_1^2}{2} + \frac{J_d \omega_2^2}{2} + \frac{Km (\frac{1}{N} \phi_1 - \phi_2)^2}{2} $$

$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \omega_1} = \frac{d}{dt} J_m \omega_1 = J_m \frac{d \omega_1}{dt} $$

$$ \frac{\partial L}{\partial \phi_1} = \frac{K_m}{\color{red}{N}} (\frac{1}{N} \phi_1 - \phi_2) $$

Del mismo modo para el otro cuerpo también (ejercicio que te queda).

$$ \frac{\partial L}{\partial \phi_2} = -K_m (\frac{1}{N} \phi_1 - \phi_2) $$

No he tenido en cuenta el par de entrada. Se puede añadir a este resultado.