Máximo de la función $F(x,y,z):=\frac{x(1-x)y(1-y)z(1-z)}{1-(1-xy)z}$

Question

Estoy atascado con encontrar el máximo de la función \begin{align} F(x,y,z):=\frac{x(1-x)y(1-y)z(1-z)}{1-(1-xy)z} \end{align} en el intervalo compacto $[0,1]\times[0,1]\times[0,1].$

Creo que el multiplicador de Lagrange puede funcionar, pero no tengo ni idea de establecer una función de restricción. ¿Hay alguna pista que pueda seguir u otro método? Agradeceré cualquier sugerencia.

Answer 1

Tomando derivadas parciales con respecto a $x,y,z$ tenemos $$\begin{cases} \dfrac{\partial F}{\partial x} = -\dfrac{(y - 1) y (z - 1) z (x^2 y z - 2 x (z - 1) + z - 1)}{(z (x y - 1) + 1)^2}\\ \dfrac{\partial F}{\partial y} =-\dfrac{(x - 1) x (z - 1) z (x y^2 z - 2 y z + 2 y + z - 1)}{(x y z - z + 1)^2}\\ \dfrac{\partial F}{\partial z} =-\dfrac{(x - 1) x (y - 1) y (x y z^2 - z^2 + 2 z - 1)}{(x y z - z + 1)^2} \end{cases}$$ Equipararlos a $0$ y eliminando factores innecesarios que claramente no conducen a un máximo, obtenemos $$\begin{cases} x^2 y z - 2 x (z - 1) + z - 1=0\\ x y^2 z - 2 y z + 2 y + z - 1=0\\ x y z^2 - z^2 + 2 z - 1 =0 \end{cases}$$ Entonces la solución deseada es, según WA $$\begin{cases} x = \sqrt{2} - 1\\ y = \sqrt{2} - 1\\ z = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}$$

Answer 2

Toma el logaritmo y luego diferéncialo.
EDITAR
$$\frac{\partial}{\partial x}\ln F=\frac1x+\frac1{x-1}-\frac{yz}{1-z+xyz}=0 \\ \frac1y+\frac1{y-1}-\frac{xz}{1-z+xyz}=0 \\ \frac1z+\frac1{z-1}-\frac{xy-1}{1-z+xyz}=0$$ Multiplica el primero por $x$ el segundo por $y$ para obtener $x/(x-1)=y/(y-1)$ . A continuación, convierta la primera ecuación en una ecuación lineal en $z$ .

Answer 3

Desde $F(x,y,z)\ge0$ es continua en un máximo y un mínimo compactos existen. En la frontera es fácil comprobar que $F=0$ por lo tanto podemos buscar el máximo por $\nabla F=0$ lo que lleva a la condición

$$z=\frac1{1-\sqrt{xy}}=\frac{1-2x}{x^2y-2x+1} =\frac{1-2y}{y^2x-2y+1}$$