Geodésicas y restricciones en la parametrización

Question

Estoy siguiendo un curso de introducción a la Relatividad General basado en el trabajo de Sean Carroll en: Espaciotiempo y geometría .
Después de muchos problemas llegamos a la siguiente ecuación diferencial: $$\frac{d ^2 x^\mu}{d \lambda ^2}+\Gamma ^{\mu}_{\rho \sigma}\frac{dx^\rho}{d\lambda}\frac{dx^\sigma}{d\lambda}=0 \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$ esto por supuesto es el ecuación geodésica mi opinión es que cualquier curva $x^\mu (\lambda)$ tal que sea una solución de $(1)$ es una geodésica. Esta afirmación y su demostración (basada en la definición de una geodésica como una curva a lo largo de la cual el vector tangente se transporta paralelamente) me parecen completamente bien.
Sin embargo: en la página 109 Carroll afirma que:

Lo que estaba oculto en nuestra derivación de (1) era que la exigencia de que el vector tangente sea transportado paralelamente en realidad restringe la parametrización de la curva, específicamente a una que sea el tiempo propio o una parámetro afín .

No veo por qué esta afirmación tiene que ser cierta. Entiendo que en RG el tiempo propio es un parámetro extremadamente bueno para una curva, y que de hecho usando el tiempo propio como parámetro obtenemos la cuatro-velocidad como el vector tangente, lo cual es indudablemente agradable; pero aún así no puedo ver por qué la derivación de la ecuación geodésica nos obligan para elegir un parámetro específico.

Answer 1

La condición se oculta en la afirmación de que una curva que transporta paralelamente su propio vector tangente debe satisfacer

$$\frac{D}{d\lambda} \frac{dx^\mu}{d\lambda} = 0. \tag{1}$$

Verás, la cuestión es que esta ecuación (que no es más que la ecuación geodésica habitual) no es invariante de la reparametrización. Si se utiliza un nuevo parámetro $\mu = g(\lambda)$ En general, encontrará que

$$\frac{D}{d\mu} \frac{dx^\mu}{d\mu} \neq 0$$

a menos que $g$ es una función afín (de ahí el nombre parámetro afín ).

Aquí podemos tomar dos caminos posibles, y ambos se utilizan en la literatura. Uno es declarar que $(1)$ es la única ecuación geodésica; es decir, una curva $x^\mu(\lambda)$ es una geodésica si y sólo si satisface $(1)$ . Esto significa que su definición de geodésica depende del parámetro: la misma curva geométrica (como en un subespacio unidimensional) podría ser simultáneamente una geodésica y no serlo, dependiendo de cómo decida parametrizarla. En muchas situaciones, es útil asegurarse de que las geodésicas están parametrizadas afinamente.

La otra opción es exigir que la condición de geodésica sea invariante de la reparametrización. Lo hacemos reconociendo que en la definición de transporte paralelo no necesitamos estrictamente la aceleración (el lado izquierdo de $(1)$ ) sea cero; sólo necesitamos que apunte en la misma dirección que la velocidad. Esto nos lleva a una ecuación geodésica "generalizada"

$$\frac{D}{d\lambda} \frac{dx^\mu}{d\lambda} = f(\lambda) \frac{dx^\mu}{d\lambda}, \tag{2}$$

donde $f$ es una función arbitraria. Esta ecuación es invariante de la reparametrización; al cambiar el parámetro sólo cambia $f$ . Si intentas resolverlo para una métrica dada, obtendrás una función indeterminada en la solución; esta función representa tu libertad para elegir el parámetro como quieras. Se puede demostrar que los parámetros que hacen $f=0$ son reescalados afines del tiempo propio (o de la arclongitud en general); pero nótese que el tiempo propio no tiene significado para las curvas nulas, por lo que tener $f=0$ (es decir, que satisfaga la ecuación $(1)$ ) es la única definición de parámetro afín para ellos.

Esta segunda ecuación es la que se obtiene si se trabaja con la definición de que una geodésica es un extremo de longitud y se permite cualquier parámetro; como tal, es un poco más intuitiva geométricamente, si se quiere, pero en realidad trabajar con ella puede ser un poco complicado, por lo que casi siempre utilizamos parámetros afines y la ecuación $(1)$ como nuestra ecuación geodésica. Esta es también la razón por la que Carroll elige explícitamente el tiempo propio como parámetro al derivar la ecuación geodésica de "longitud más corta", lo que también explica por qué $f$ no se encuentra en ninguna parte de su libro.