La razón por la que en el cálculo estocástico las sumas de la izquierda y de la derecha dan integrales diferentes se reduce realmente a las variaciones cuadráticas. Procesos como el movimiento browniano tienen variaciones cuadráticas no nulas.
Supongamos que se está integrando un proceso X con respecto a algún otro proceso Y, entonces se elige una partición 0=t 0 ≤...≤t n \=t las aproximaciones utilizando las sumas de la mano izquierda y derecha respectivamente son, $$ \int_0^t X\ dY\approx \sum_{k=1}^nX_{t_{k-1}}(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}}) $$ $$ \int_0^t X\ \overleftarrow{d}Y\approx \sum_{k=1}^nX_{t_{k}}(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}}) $$ La diferencia entre estos puede ser acotada de la siguiente manera $$ \sum_{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}}) \le\max_k\vert X_{t_k}-X_{t_{k-1}}\vert\sum_k\vert Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}}\vert $$ El último término del lado derecho converge a la variación de Y a medida que la malla de la partición llega a cero y, si X es continua, el primer término llega a cero. Por lo tanto, en el cálculo estándar donde la integración es siempre con respecto a las funciones de variación finita, no hay ninguna diferencia si se utilizan las sumas de la mano izquierda o de la mano derecha. Alternativamente, se puede aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para obtener el siguiente límite. $$ \sum_{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}}) \le\sqrt{\sum_{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^2\sum_{k=1}^n(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}})^2}. $$ A medida que la malla de la partición llega a cero, los términos dentro de la raíz cuadrada convergen a las variaciones cuadráticas de X e Y respectivamente, denotadas por [X] e [Y]. De nuevo, en el cálculo estándar, utilizamos funciones de variación finita (continuas), que tienen una variación cuadrática nula. Sin embargo, en el cálculo estocástico, procesos como el movimiento browniano tienen una variación cuadrática distinta de cero. La convergencia a la variación cuadrática a lo largo de las particiones se produce en el sentido de convergencia en probabilidad - no tiene que converger en el sentido habitual con cualquier probabilidad positiva. Un movimiento browniano B tiene [B] t \=t, por lo que las sumas de la izquierda y la derecha pueden converger a números diferentes.
Con la integración de Stratonovich lo correcto es utilizar la media de las sumas de la izquierda y la derecha, no el punto medio. Para los procesos Ito, que son integrales con respecto al movimiento browniano y al tiempo, no hay ninguna diferencia. Esto se debe a que sus variaciones cuadráticas son absolutamente continuas. Sin embargo, para los semimartingales continuos generales, las sumas del punto medio no tienen que converger a nada. (Véase Sobre algunas aproximaciones de integrales estocásticas de Marc Yor).
Así, la integración de Stratonovich utiliza la media de las sumas de la izquierda y la derecha, y la diferencia entre ésta y la integral de Ito es precisamente la mitad de lo que se obtiene utilizando las sumas de la derecha.
En cuanto a la pregunta de si esta diferencia aparece en el cálculo estándar (no estocástico), la respuesta es, hasta donde yo sé, casi nunca. De hecho, dada cualquier función continua, se puede elegir una secuencia de particiones a lo largo de la cual la variación cuadrática desaparece a medida que la malla llega a cero (¡lo dejo como ejercicio!). Así que, dada cualquier función continua con variación cuadrática no nula con respecto a alguna secuencia de particiones, de modo que las sumas de la mano izquierda y la derecha convergen a números diferentes entonces, habrá otras particiones a lo largo de las cuales la variación cuadrática desaparece. Así que la integral no está realmente definida en este caso.
Sin embargo, hay un caso que he visto en el que las sumas de la mano izquierda y derecha para funciones deterministas convergen a números diferentes. Para que esto ocurra, hay que fijar alguna secuencia de particiones con malla que vaya a cero, y ceñirse a usarlas para definir la integral. Diferentes particiones podrían llevar a resultados diferentes. Hans Follmer publicó un artículo utilizando esta idea en 1981 ( Cálculo de Ito sin probabilidades ). No hay ningún caso natural (y útil) que yo conozca en el que esto ocurra, pero se pueden construir algunos ejemplos.
Dado un movimiento browniano, la variación cuadrática a lo largo de una secuencia de particiones donde cada una es un refinamiento de la anterior convergerá con probabilidad uno. Así, seleccionando una trayectoria de muestra de movimiento browniano al azar, se pueden definir integrales utilizando estas particiones en un sentido de trayectoria, en lugar de utilizar la maquinaria de la integración estocástica. Sin embargo, convergerán a la misma cosa, así que esto es un poco engañoso. Función de Weierstrass forzando a la variación cuadrática a converger a un número no nulo a lo largo de una determinada secuencia de particiones. Entonces, las sumas de Riemann izquierda y derecha a lo largo de estas particiones convergerán a una respuesta diferente.
Por ejemplo, dejemos que s(t) sea la función "diente de sierra" s(t) = 1-|1-2{t/2}| ({t}=parte fraccionaria de t). Entonces, definamos la siguiente función en el intervalo unitario, $$ f(t) = s(t)+\sum_{n=1}^\infty 2^{-(n+1)/2}s(2^nt). $$ Esto tiene una variación cuadrática 1, calculada a lo largo de diádico particiones. Las siguientes integrales izquierda, derecha y `Stratonovich' se verifican fácilmente,
$$ \int_0^1 f df = (f(1)^2-f(0)^2-[f]_1)/2. $$
$$ \int_0^1 f \overleftarrow{d}f = (f(1)^2-f(0)^2+[f]_1)/2. $$
$$ \int_0^1 f \partial f = (f(1)^2-f(0)^2)/2. $$
