Cálculo del límite por la regla de Hopital

Question

¿Cómo puedo hallar el siguiente límite por la regla de l'hospital? $$\lim_{x\to 0^{+}} \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\right)^{\tan x}$$

Answer 1

Con equivalentes:

El logaritmo natural de la función es $\;\tan x\,\ln(\sinh x)$ .

Ahora $\;\sinh x\sim_0 x$ Por lo tanto $\;\ln(\sinh x)\sim_0\ln x$ . También $\tan x\sim_0 x$ Por lo tanto $$\tan x\,\ln(\sinh x)\sim_0 x\ln x \xrightarrow[x\to 0^+]{}0$$ para que $$(\sinh x)^{\tan x}=\mathrm e^{\tan x\ln(\sinh x)}\xrightarrow[x\to 0^+]{}1.$$

Answer 2

$$\lim_{x\to 0^{+}} \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\right)^{\tan x}=\lim_{x\to 0^{+}} exp(\tan x\ln|\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}|)=exp(\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln|\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}|}{\cot x})$$