Lista de longitud $x$ con letras $A$ y $B$ ¿De cuántas maneras? (Pregunta básica de combinatoria)

Question

Se me encargó encontrar el número de formas posibles de escribir una secuencia con las siguientes condiciones:

1. La secuencia tiene una longitud $x$ donde $x$ es incluso
2. La secuencia consta de las letras $A$ y $B$
3. El número de $A$ s debe ser igual al número de $B$ s

Por ejemplo, para $x=4$ estas son todas las secuencias válidas:

AABB, ABAB, BABA, ABBA, BAAB, BBAA

Pude averiguar rápidamente que la respuesta era $\binom{x}{x/2}$ sólo por patrón (en este caso $\binom{4}{2}=6$ ), pero me cuesta entender por qué esa es la solución, es decir, la expresión de la solución.

Existen $x$ ranuras para rellenar, que se deben rellenar con dos letras, pero $\binom{x}{2}$ sólo me daría el número de listas de longitud dos. Aquí estoy tratando de encontrar el número de listas de longitud $x$ con el mismo número de $A$ s y $B$ s.

Supongo que para reformular mi pregunta, ¿cómo se podría traducir la frase " $x$ elija $x/2$ " en el contexto de este problema?

Pregunta complementaria en la que estaba pensando: si $x$ es un número impar, ¿cómo tendríamos que modificar nuestra expresión? Por ejemplo, si debemos utilizar tres $A$ s y dos $B$ s, y nuestro $x=5$ .

Answer 1

Permítanme reformular ligeramente la pregunta original: para cada $n\in\Bbb N$ desea contar las secuencias de $n$ $A$ y $n$ $B$ 's. (En otras palabras, su $x$ es mi $2n$ .) Existen $2n$ posiciones en dicha secuencia, y cualquier $n$ de ellos puede llenarse con el $n$ $A$ 's. Una vez que sepas qué $n$ posiciones mantienen el $A$ 's, usted sabe que el resto $n$ posiciones deben mantener el $B$ para que conozcas la secuencia completa. Así, puedes contar las secuencias contando las formas de colocar $n$ $A$ en una cadena de $2n$ posiciones. Eso es sólo el número de formas de elegir $n$ de la $2n$ que viene dado por el coeficiente binomial $\binom{2n}n$ .