¿Existe una relación entre Rotors y la fórmula de rotación de Rodrigues?

Question

Estoy tratando de entender quaternion en general, y parece que el camino para dar sentido a cómo funcionan realmente es entender primero rotores y otras técnicas relacionadas con las rotaciones. Mirando las ecuaciones y leyendo brevemente sobre estos temas, parece que hay relaciones entre todos ellos: los rotores, la fórmula de rotación de Rodrigues, que implica un producto escalar y vectorial, y los cuaterniones. Antes de entrar en el tema de los cuaterniones, lo único que intento averiguar es si existe algún tipo de relación entre los rotores (o, más concretamente, el uso de rotores para rotar un vector), ya que la ecuación para rotar un vector utilizando un rotor también implica el producto escalar y vectorial, y la fórmula de Rodrigues:

$\mathbf{v}_\mathrm{rot} = \mathbf{v} \cos\theta + (\mathbf{k} \times \mathbf{v})\sin\theta + \mathbf{k} (\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}) (1 - \cos\theta)$

Si es así, ¿podría alguien explicarlo, por favor?

Answer 1

Podríamos "derivar" la fórmula de Rodrigues "vectorizando" el producto sandwitch del cuaternión. En primer lugar, recordemos el producto sadwitch:

$v' = Q \ v \ Q^*$

Dónde $v$ es un cuaternión puro (su parte real es igual a cero) y $Q$ es un cuaternión unitario y $Q^*$ es su conjugado:

$Q^{*} = q_0 - i q_1 - j q_2 - k q_3$

Aplicando la relación de Euler:

$v' = Q \ v \ Q^{-1} = (\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} \ b) \ v \ (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} \ b)$

$v' = (Q \ v) \ Q^{-1} = (\cos \frac{\theta}{2} \ v + \sin \frac{\theta}{2} \ b \ v) \ (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} \ b)$

$v' = \cos^2 \frac{\theta}{2} \ v - (\cos \frac{\theta}{2} \ \sin \frac{\theta}{2}) \ v \ b + (\sin \frac{\theta}{2} \ \cos \frac{\theta}{2}) \ b \ v - \sin^2 \frac{\theta}{2} \ b \ v \ b$

El producto $v \ b$ t cuaterniones puros y se define en forma vectorial como:

$v \ b = (i v_0 + j v_1 + k v_2) \ (i b_0 + j b_1 + k b_2) = -v \cdot b + v \times b$ ,

donde $v \cdot b$ es el producto punto y $v \times b$ es el producto cruzado.

Obsérvese que la suma algebraica $-v \ b + b \ v$ no es cero, ya que el producto cruzado no es conmutativo. En consecuencia $-v \ b + b \ v = (v \cdot b - v \times b) + (-b \cdot v + b \times v) = 0 + 2 \ b \times v = 0 - 2 \ v \times b$ .

Reemplazando eso en nuestra última ecuación obtenemos:

$v' = \cos^2 \frac{\theta}{2} \ v + 2 \ (\cos \frac{\theta}{2} \ \sin \frac{\theta}{2}) \ b \times v - \sin^2 \frac{\theta}{2} \ b \ v \ b$

Curiosamente, la expresión $b \ v \ b$ no es más que el reflejo de $v$ en el plano con normal $b$ . En $b$ y $v$ son cuaterniones puros. La reflexión puede expresarse en forma vectorial como:

$b \ v \ b = 2 \ (-v \cdot b) \ b + v$

donde el vector $v$ se desplaza en la dirección de la normal negativa $b$ dos veces la distancia de $v$ proyectado en $b$ . Finalmente la ecuación es:

$v' = \cos^2 \frac{\theta}{2} \ v + 2 \ (\cos \frac{\theta}{2} \ \sin \frac{\theta}{2}) \ b \times v - \sin^2 \frac{\theta}{2} \ (2 \ (-v \cdot b) \ b + v)$

$v' = \cos^2 \frac{\theta}{2} \ v - \sin^2 \frac{\theta}{2} \ v + 2 \ (\cos \frac{\theta}{2} \ \sin \frac{\theta}{2}) \ b \times v + 2 \ \sin^2 \frac{\theta}{2} \ (v \cdot b) \ b$

Aplicando las siguientes identidades trigonométricas:

$\cos \theta = \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2}$

$\sin \theta = 2 \cos \frac{\theta}{2} \ \sin \frac{\theta}{2}$

$1 - \cos \theta = 2 \ \sin^2 \frac{\theta}{2}$

Obtenemos la fórmula Rodrigues:

$v' = \cos \theta \ v + \sin \theta \ b \times v + (1 - \cos \theta) \ ( v \cdot b ) \ b$

Fue descubierto por Olinde Rodríguez tres años antes de que Hamilton descubriera los cuaterniones.

Answer 2

En mi opinión, es más apropiado considerar el conjunto de cuaterniones como un par bivector escalar. La ecuación de rotación es una transformada de semejanza. Desde luego, es razonable adoptar un punto de vista de rotor GA. La mejor manera de pensar en ello va a depender de lo que es más familiar para usted.