Demuestra que $x^{2}-6y^{2}=523$ tiene infinitas soluciones integrales

Question

Quiero demostrar que $x^2-6y^2=523$ tiene infinitas soluciones. Para el caso especial $x^2-dy^2=1$ Sé lo que tengo que hacer. Puedo obtener el resultado utilizando fracciones continuas. Además, en las clases de $x^2-dy^2=m$ para algunos ejemplos, puedo decir que no hay solución utilizando el primo módulo $p$ . Pero en general, no estoy seguro de cómo encontrar el conjunto de soluciones para $ax^{2}+by^{2}+c=0$ donde $a,b,c\in \mathbf{Z}$ .

Le agradecería si me puede ayudar con esta pregunta o dirigirlo a un recurso que puede ayudar.

Answer 1

En este caso se puede utilizar un giro de la ecuación de Pell. El solución fundamental Pell para $D=6$ es $(x,y)=(5,2).$ Así que todas las soluciones positivas a $$a^2-6b^2=1$$ vienen dadas por $$a_k+b_k \sqrt{6}=(5+2\sqrt{6})^k$$ para $k\in \mathbb{Z}_{+}.$ Esta es la parte divertida: desde $(x,y)=(23,1)$ es una solución a $$x^2-6y^2 = 523$$ (obtenido probando valores más pequeños de $x$ o $y$ y viendo si la otra variable resulta ser un número entero), la solución viene dada por $$x_k + y_k\sqrt{6}=(23+\sqrt{6})(a_k+b_k \sqrt{6})$$ para cada número entero positivo $k.$ Es fácil demostrar que todas estas son soluciones porque si $a^2-6b^2=1$ entonces $$(23+\sqrt{6})(a+b\sqrt{6}) = (23a+6b)+(23b+a)\sqrt{6}$$ y \begin{align*} (23a+6b)^2-6(23b+a)^2 &= 23^2 (a^2-6b^2) - 6(a^2-6b^2)\\ &= 23^2-6\\ &=523. \end{align*}

Esto no encuentra necesariamente todas las soluciones, pero se obtienen infinitas ya que son monotónicamente crecientes en algún sentido. Se puede leer lo que Keith Conrad ha escrito sobre la búsqueda de todas las soluciones.

Answer 2

$(23, 1)$ es una solución.

Si $(x, y)$ es una solución, entonces $(5x + 12y, 2x + 5y)$ también es una solución.