Creación de fórmulas lógicas de implicaciones bien definidas

Question

¿Es cierta la siguiente afirmación? :

si $A$ es una fórmula bien definida y $A$ implica que $B$ es una fórmula bien definida, entonces $A \implies B$ es una fórmula bien definida

A modo de ejemplo Para algunos $x$ ,

• $x \in \mathbb{N}$ es una fórmula bien definida
• si $x \in \mathbb{N}$ podemos comprobar que $\operatorname{mcd}(x, 1) = 1$ es una fórmula bien definida (si $x \notin \mathbb{N}$ la función $\operatorname{mcd}$ no tiene un significado claro)

Entonces, es $x \in \mathbb{N} \implies \operatorname{mcd}(x, 1) = 1$ ¿una fórmula bien definida? ¿por qué?

¿Es posible llegar a este enunciado final utilizando el habitual "if $A$ y $B$ están bien definidos, entonces $A \implies B$ también"?

Sin usar ese $x \in \mathbb{N}$ no me parece posible suponer o probar que $\operatorname{mcd}(x, 1) = 1$ está bien definida.

(Por una fórmula bien definida, entiendo que tiene un valor definitivo de Verdadero o Falso, pheraphs mi confusión viene de esta definición)

Answer 1

Cuando estudiamos formalmente los sistemas lógicos, solemos evitar este problema (que yo llamaría "notación definida condicionalmente") considerando que cada construcción notacional tiene algún "valor ficticio" cuando no se satisfacen sus "condiciones para ser significativa".

Por ejemplo, si trabaja en teoría de conjuntos, podría considerar $\operatorname{mcd}(x,y)$ para denotar el conjunto vacío cuando $x,y$ no están ambos en $\Bbb N$ . Cuando en realidad estamos haciendo teoría de números, tenemos cuidado de sólo utilizar $\operatorname{mcd}$ en números naturales, pero en contextos más abstractos en los que estamos formalizando lo que significa ser una fórmula bien formada, permitimos que $\operatorname{mcd}(x,y)$ para que sea válida plazo siempre que $x$ y $y$ son términos válidos. Debido a cómo $\implies$ funciona, sabemos que el valor de verdad de " $x\in\Bbb N\implies(\dots\operatorname{mcd}(x,1)\dots)$ " no depende de nuestra elección del valor ficticio.