Limitar la distribución $Y_n=\sum_{i=1}^{n}X_i/n$

Question

Si $X_1, . . ., X_n$ es una muestra aleatoria con distribución $Geo(\theta)$ . Hallar la distribución límite para $Y_n=\sum_{i=1}^{n}X_i/n$

Sé que la idea es resolver para $lim_{n\to\infty}P(Y_n\le y)$ pero terminan con un 0 en lugar de una distribución. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

El Teorema Central del Límite nos dice que, para grandes $n$ la distribución de $Y_n$ es aproximadamente $$ \mathrm{N}\left(\frac{1}{\theta}, \frac{1-\theta}{\theta^2\cdot n}\right). $$ Por lo tanto, como $n\to\infty$ la distribución de $Y_n$ se convierte en una distribución degenerada en $1/\theta$ : $$ \lim_{n\to\infty} \Pr\{Y_n\leq y\} = I_{[1/\theta,\infty)}(y). $$