¿Cómo implica la Ley de Gauss que el campo eléctrico es cero en el interior de una esfera hueca?

Question

Supongamos que tengo una esfera hueca de radio $R$ . Deseo encontrar el campo eléctrico en su interior en algún punto.

La ley de Gauss nos dice que:

$$\iint{ \vec{E}(\vec{r}). \vec{dA} } = \frac{\sum q}{\epsilon}$$

Ahora mi profesor y otros me enseñaron que para encontrar el campo eléctrico se puede dibujar una superficie gaussiana y aplicar esta ley y se obtendría que el campo eléctrico es igual a cero porque la carga encerrada es $0$ .

Mi pregunta es: ¿No encuentra la ley de guass sólo el campo eléctrico "debido a la carga encerrada" y puesto que dibujamos la superficie gaussiana "dentro de la esfera" donde no hay carga, no sería incorrecto decir simplemente que el campo eléctrico debido a "toda la esfera hueca" es cero aunque "no estemos dibujando la superficie gaussiana alrededor de la carga"? Espero que tenga sentido.

Answer 1

La ley de guass no encuentra solo el campo electrico "debido a la carga encerrada"

No. El $\mathbf{E}$ en la Ley de Gauss es el campo eléctrico debido a todas las cargas, tanto dentro como fuera de la superficie gaussiana.

La razón por la que las cargas exteriores no contribuyen a la integral de superficie total es que el campo que producen "contribuye dos veces", una cuando el campo "entra" y otra cuando "sale" de la superficie. La ley de Gauss nos dice que estas contribuciones deben anularse.

¿Qué aspecto tiene esto dentro de una cáscara esférica? Bueno, primero argumentamos por consideraciones de simetría que

1. El campo debe depender únicamente de $r$ la distancia desde el centro de la cáscara
2. El campo debe dirigirse radialmente

Ahora podemos invocar la Ley de Gauss sobre una superficie esférica de radio $r<R$ y obtener $$ 4\pi r^2 E = 0 \quad\Rightarrow\quad E = 0 $$

Nótese que el argumento de la simetría es importante en este caso. Si rompo la simetría esférica, por ejemplo, añadiendo una carga puntual en algún punto, entonces el campo dentro de la envoltura será el campo producido por la carga que añadí por el principio de superposición. Decir simplemente que no hay carga dentro de la superficie gaussiana sin este requisito adicional no es suficiente para decir que el campo es $0$ .