Si $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ converge, es decir, $\lim\limits_{y\to\infty} \int_1^y f(x)\,dx$ donde $y\in [1,\infty)$ existe, entonces por supuesto el límite de la "subsecuencia" $\int_1^n f(x)\,dx$ existe y es el mismo. Esta dirección se mantiene sin ninguna condición sobre $f$ (distinta de la integrabilidad en todos los intervalos $[1,y]$ que es necesario para que la afirmación tenga sentido).
Si $f$ es no negativo, entonces
$$I(y) = \int_1^y f(x)\,dx$$
es una función monotónicamente creciente (no necesariamente estricta). Una función monótona $M \colon [1,\infty) \to \mathbb{R}$ tiene un límite en $\infty$ si y sólo si está acotada, y puesto que $M(y)$ se encuentra entre $M(n)$ y $M(n+1)$ (inclusive) para $y \in [n,n+1]$ acotación de $M$ es entonces equivalente a la acotación de la secuencia $\bigl(M(n)\bigr)_{n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}}$ .
Así, para $f$ (que es integrable en todos los intervalos $[1,n]$ ), la convergencia de $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ es equivalente a la convergencia de la secuencia $\bigl(\int_1^n f(x)\,dx\bigr)_{n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}}$ .
Si $f$ es monotónicamente decreciente, entonces $\int_1^y f(x)\,dx$ existe para todos $y \in [1,\infty)$ y la no negatividad de $f$ es un necesario para la convergencia de $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ . Porque si hay un $z \in [1,\infty)$ con $c = f(z) < 0$ entonces para $x > z$ tenemos $f(x) \leqslant c$ y por lo tanto
$$\int_1^y f(x)\,dx = \int_1^z f(x)\,dx + \int_z^y f(x)\,dx \leqslant \int_1^z f(x)\,dx + (y-z)\cdot c \tag{$ \ast $}$$
para $y \geqslant z$ y el lado derecho de $(\ast)$ no está acotada por debajo.
Por tanto, la respuesta a A) es "no". [Suponiendo que "existencia del límite" signifique existencia en $\mathbb{R}$ . Si $\pm \infty$ se admiten como límites, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} \int_1^n f(x)\,dx = -\infty$ para cada $f \colon [1,\infty) \to \mathbb{R}$ que alcanza un valor negativo en algún punto, como se deduce de $(\ast)$ .]
La respuesta a B) también es negativa, para deducir la convergencia de $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ de la existencia de $\lim\limits_{n\to\infty} \int_1^n f(x)\,dx$ necesitamos supuestos adicionales como las condiciones de decaimiento ( $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$ ) o la no negatividad. Consideremos $f(x) = \sin (2\pi x)$ . Entonces
$$\int_1^n f(x)\,dx = 0$$
para todos $n \in \mathbb{N}$ Así que $\lim\limits_{n\to\infty} \int_1^n f(x)\,dx$ existe. Pero
$$\int_1^{n + \frac{1}{2}} f(x)\,dx = \frac{1}{\pi}$$
para todos $n \in \mathbb{N}$ Así que $\lim\limits_{y\to\infty} \int_1^y f(x)\,dx$ no existe.
