Es bien sabido (y fácil de demostrar) que $\mathbb{R}^d\otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{R}^s$ es isomorfo como espacio vectorial a $\mathbb{R}^{sd}$ . Ahora, me gustaría conocer una descripción sencilla del producto tensorial de $\mathbb{R}^d$ y $\mathbb{R}^s$ como grupos abelianos, es decir, lo que es $\mathbb{R}^d\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}^s$ ?
Respuesta
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Jeff
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Basta con describir $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}$ . Si $c=|\mathbb{R}|$ existe un isomorfismo de $\mathbb{Q}$ -y, por tanto, de grupos abelianos $\mathbb{R} \cong \mathbb{Q}^{(c)}$ . En consecuencia $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R} \cong \mathbb{Q}^{(c \times c)} \cong \mathbb{Q}^{(c)} \cong \mathbb{R}$ . Nótese que esto es sólo un isomorfismo muy poco canónico, probablemente de ninguna utilidad. Cuando quiera trabajar con $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}$ mejor dejarlo como un producto tensorial.
