Consideremos un paseo aleatorio sobre $\mathbb{Z}^2$ que avanza (es decir, da un paso en la misma dirección que el último paso) con probabilidad $p$ y gira a derecha e izquierda con probabilidad $\frac{1-p}{2}$ respectivamente. ¿Es recurrente para todos $1 > p \geq 0$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Arlene
Puntos
1
Parece que la recurrencia se deduce del Teorema 1 de Bender y Richmond, Caminatas aleatorias correlacionadas Ann. Probab. 12(1) (1984): 274-278 DOI:10.1214/aop/1176993392 . (Aunque se hace tarde, así que puede que me esté equivocando en algo).
Si $X_n$ es el "paseo aleatorio" descrito en la pregunta y $D_n$ es la "dirección" en la que se mueve el paseo aleatorio en el paso $n$ entonces $(D_n, X_{n+1} - X_n)$ es el "paseo aleatorio correlacionado" según la terminología de Bender y Richmond. Así, tenemos que verificar tres condiciones:
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El "paseo aleatorio correlacionado" es sin deriva Eso es, $\mathbb E|X_n| = o(n)$ . Esto parece seguirse de la convergencia exponencial de la distribución de $D_n$ a la distribución uniforme sobre cuatro direcciones admisibles.
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Condición A se cumple: para algunos $d$ y $d'$ el soporte de la distribución condicional $X_{n+1} - X_n$ dado $D_n = d$ y $D_{n+1} = d'$ es un conjunto linealmente denso en $\mathbb R^2$ . Esto profundiza en la definición exacta de $X_n$ pero incluso si esta condición falla, el "paseo aleatorio correlacionado" $(D_{2n}, X_{2n+2} - X_{2n})$ cumple esta condición.
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Condición B se mantiene: la cadena de Markov $D_n$ (o $D_{2n}$ ) es "fuertemente irreducible": esto es claramente cierto.
